http://github.com/dylang/node-rsssite-lib/media/favicon.pngWebpage HTML Export plugin for ObsidianThu, 23 Jul 2026 21:09:39 GMTThu, 23 Jul 2026 21:09:38 GMT60Linjär algebraLinjär algebra
Discrete mathematicsDiscrete mathematics
Groups and rings, LecturesGroups and rings, Lectures
OptimizationOptimization ]]>index.htmlindex.mdThu, 23 Jul 2026 21:00:01 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/measure-spaces.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Measure spaces.mdTue, 26 May 2026 11:58:57 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/differentiation.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Differentiation.mdSat, 23 May 2026 22:00:03 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/implicit-function-theorem.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Implicit function theorem.mdFri, 22 May 2026 19:07:05 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/inverse-function-theorem.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Inverse function theorem.mdFri, 22 May 2026 18:23:54 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/analytic-functions-and-special-functions.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Analytic functions and special functions.mdFri, 22 May 2026 11:32:36 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/series.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Series.mdThu, 21 May 2026 18:01:12 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/banach-fix-point-theorem.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Banach fix point theorem.mdThu, 21 May 2026 14:37:41 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/multivariable-maps.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Multivariable maps.mdThu, 21 May 2026 14:35:25 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/linear-algebra.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Linear algebra.mdThu, 21 May 2026 13:18:53 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/more-function-sequences.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/More function sequences.mdThu, 21 May 2026 12:29:51 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/function-sequences.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Function sequences.mdThu, 21 May 2026 10:13:27 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/riemann-stieltjes-integral.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Riemann-Stieltjes integral.mdThu, 21 May 2026 09:50:58 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/continuity.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Continuity.mdFri, 27 Mar 2026 10:15:48 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/limits.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Limits.mdThu, 26 Feb 2026 22:10:40 GMTmatematik/real-analysis/raw-notes/sequences.htmlMatematik/Real analysis/Raw notes/Sequences.mdThu, 26 Feb 2026 18:00:16 GMTSetsSets
The logical frameworkThe logical framework
Natural numbersNatural numbers
InductionInduction
Matematik/Discrete mathematics/Minimality and maximalityMatematik/Discrete mathematics/Minimality and maximality
CountingCounting
Infinite setsInfinite sets
RelationsRelations
IntegersIntegers
DivisibilityDivisibility
Representations of integersRepresentations of integers
Greatest common divisorGreatest common divisor
Prime numbersPrime numbers
Rational numbersRational numbers
CombinatoricsCombinatorics
Euler's functionEuler's function
Words and selectionsWords and selections
PermutationsPermutations
Unordered selectionsUnordered selections
The Sieve principleThe Sieve principle
Möbius functionMöbius function
PartitionsPartitions
Multinomial numbersMultinomial numbers
Partitions of integersPartitions of integers
Classification of permutationsClassification of permutations
CongruenceCongruence
Latin squaresLatin squares
Chinese Remainder TheoremChinese Remainder Theorem
Error correcting codesError correcting codes
GraphsGraphs
Paths and cyclesPaths and cycles
TreesTrees
Graph colouringGraph colouring
Bipartite graphsBipartite graphs
Edge colouringEdge colouring
Latin rectanglesLatin rectangles
MatchingsMatchings
Directed graphsDirected graphs
Networks and flowsNetworks and flows ]]>matematik/discrete-mathematics.htmlMatematik/Discrete mathematics.mdWed, 11 Feb 2026 13:19:22 GMTthis previous discussionthis previous discussion in mind, we need general approaches to finding local minima on the boundary of the feasible region. As mentioned in the discussion, interior minima are generally much easier to find than those on the boundary of . Naturally, we consider if we can simply make larger, making the boundary points interior. Let's indeed suppose that is defined on some larger space .Naively we might now simply find the local minima in . The issue is of course that for points on the boundary of , the points in near with lower cost might all be outside of . This invalidates as a local minimum in , but it might still be one in , which is what we really seek.To counter this, we might consider also modifying . In particular, if we modify in such a way that being outside of increases cost, we might be able to make sure that a local minimum on the boundary of stays locally minimal when expanding into ; the points outside that would previously invalidate as a local minimum in are now punished for being outside , making superior.This is the idea behind Lagrange relaxation. Here, we consider to be some set constrained with inequality and/or equality constraints, and we see the expansion of as the removal ("relaxation") of these constraints. Instead, we make the constraints contribute to the cost in the way described earlier.Setup Here, we consider an optimization problem of the form where and . The idea now is to remove these constraints and instead let them contribute to the cost function.Definition: Relaxed Lagrange problem Given a and with , the corresponding relaxed Lagrange problem with respect to the explicit contraints of is The elements of and of are called Lagrange multipliers. Unfortunately, it is very unlikely that there are Lagrange multipliers that preserve all local minima on the boundary. This is however not the point of Lagrange relaxation. Instead, we consider for which points it is possible to find Lagrange multipliers such that becomes a local minima.Maybe rewrite so that we explicitly only relax the active constraints.]]>matematik/optimization/alternative/lagrange-relaxation.htmlMatematik/Optimization/Alternative/Lagrange relaxation.mdThu, 08 Jan 2026 20:33:48 GMTmatematik/optimization/alternative/interior-and-boundary.htmlMatematik/Optimization/Alternative/Interior and boundary.mdThu, 08 Jan 2026 18:27:19 GMTmatematik/optimization/alternative/optimization-problems.htmlMatematik/Optimization/Alternative/Optimization problems.mdThu, 08 Jan 2026 17:55:14 GMTThe optimization problemThe optimization problem
Equivalences of optimization problemsEquivalences of optimization problems
MinimizersMinimizers
Feasible directions and descent directionsFeasible directions and descent directions
Equality constraintsEquality constraints
Inequality constraintsInequality constraints
Lagrange relaxationLagrange relaxation
ConesCones
Inequality constraints, alternativeInequality constraints, alternative
The linear optimization problemThe linear optimization problem
Standard formStandard form
Basic feasible solutionsBasic feasible solutions
The Simplex methodThe Simplex method
DualityDuality
Duality for other formsDuality for other forms
ConvexityConvexity
The convex optimization problemThe convex optimization problem
Optimality conditionsOptimality conditions
The quadratic optimization problemThe quadratic optimization problem
Convex quadratic functionsConvex quadratic functions
Descent directionsDescent directions
No constraintsNo constraints
Equality constraintsEquality constraints
Least squaresLeast squares ]]>matematik/optimization.htmlMatematik/Optimization.mdThu, 08 Jan 2026 16:41:53 GMTmatematik/optimization/minimizers.htmlMatematik/Optimization/Minimizers.mdMon, 05 Jan 2026 11:05:48 GMTHessianHessian of at . If is positive definite for all , then is strictly convex. ]]>matematik/optimization/convex-optimization/convexity.htmlMatematik/Optimization/Convex optimization/Convexity.mdFri, 02 Jan 2026 13:12:32 GMToptimization problemoptimization problem of the form where and are continuously differentiable. We also let Begin by noting that whenever all constraints are fulfilled strictly, we are in the interior of and thus whenever local optimal points are there, we will find them by solving , i.e. finding stationary points. The rest of this page will discuss finding optimal solutions on the boundary of , which is significantly harder.Definition: Active indices Let . Then is the corresponding active index set.
Remark If , then is an interior point in and as such, if is a local optimal solution it follows from a previous theoremprevious theorem that .
Definition: Regular point A point is regular whenever are conically independentconically independent.
With this lemmathis lemma this definition becomes much more intuitive: is regular whenever there is a direction in which all active constraints become inactive, i.e. if it "touches" the interior of .Theorem: KKT conditions Let be regular and a local optimal solution. Then there are Lagrange multipliers such that , , , . Proof:
Let and . Suppose together with are conically independent. Then, by this lemmathis lemma, there is a direction in which and for all , meaning is a feasible descent direction, contradicting local optimality of . Since is regular, are conically independent meaning that makes conically dependent, so for some . Now take such that whenever and otherwise. This gives which is condition (1). (2) is clear since is feasible, and (3) is clear by the construction above. (4) follows since is nonzero only when which means . ]]>matematik/optimization/inequality-constraints,-alternative.htmlMatematik/Optimization/Inequality constraints, alternative.mdFri, 02 Jan 2026 06:40:10 GMTmatematik/optimization/cones.htmlMatematik/Optimization/Cones.mdFri, 02 Jan 2026 00:11:40 GMT ^7cc7be" data-href="Minimizers#^7cc7be" href="matematik/optimization/minimizers.html#^7cc7be" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">previous theoremprevious theorem that . Lemma Suppose with is a local optimal solution. Then there does not exist a with Proof: Suppose such a exists. It is then clear that a small step in the -direction lowers cost and stays feasible, contradicting the local optimality. Farkas' Lemma Let and . Then exactly one of the following is true: There exists an with and . There exists a with and . Some intuition is that are all conic combinations of the columns of , which is a convex subset. Farkas' lemma says exactly that whenever a vector is not in it is possible to separate and with a hyperplane, being ; says that all columns of and thus all of lie on the same side of , while says that lies on the opposite side of .Lemma Let . Then exactly one of the following is true: There exists a such that . There exists a such that and . Proof: By introducing another variable one gets that (a) is equivalent to which is equivalent to (b) in Farkas' lemma giving that there is either a solution to this or to and if there is a solution to where we can just scale to get . Lemma Let with be a local optimal solution. Then there exists scalars and () such that Proof:
Taking a previous lemmaprevious lemma says that there are no such that . The previous lemma then says that there exists a nonnegative nonzero such that if , which is precisely the statement. Definition: Regular point A feasible point is regular whenever either or there do not exist scalars not all zero such that Lemma Suppose with is a regular point and a local optimal solution. Then there exist scalars such that Proof:
In this previous lemmathis previous lemma, if we would contradict being regular, so we have . Dividing by this we get the desired statement. Theorem: KKT conditions Suppose is a regular point and a local optimal solution to . Then there exists a vector such that: , , , . Proof:
Suppose . (2) is already known from being feasible. (1) and (3) follow from the previous lemma and this lemmathis lemma (setting whenever ). Then, since also whenever , (4) follows too. Now suppose . Then we get from this theoremthis theorem that so we can choose . ]]>matematik/optimization/inequality-constraints.htmlMatematik/Optimization/Inequality constraints.mdThu, 01 Jan 2026 15:10:37 GMTprevious theoremprevious theorem we have so is optimal to , and for any we have so is optimal to . Theorem A pair satisfies the global optimality conditions for if and only if is optimal to , is optimal to , . Proof:
: Suppose satisfy the global optimality conditions. Then, by a previous theoremprevious theorem, is optimal. Also, so by the previous lemma, is also optimal. : Suppose (1)-(3) are satisfied. Then and by feasibility. Also, so from (3) we get and Theorem is a concave function on . Proof: Take and . Then ]]>matematik/optimization/lagrange-relaxation.htmlMatematik/Optimization/Lagrange relaxation.mdThu, 01 Jan 2026 12:47:16 GMTconvex optimization problemconvex optimization problem with inequality conditions, where all and all 's are convex and continuously differentiable.
Theorem If and satisfy the KKT conditionsKKT conditions , , , then is a (global) optimal solution. Proof: Define Since we know is convex and continuously differentiable. (1) gives meaning is a global optimal solution for (since is convex). (2) gives that . Finally, suppose . By (4), , so by (3) and since , so is indeed optimal. Definition: Regular convex problem is regular if there exists an with .
Lemma If is regular, then every feasible solution is regularregular. Proof:
If we are done. Otherwise, let where . From convexity of the 's we get Whenever we have meaning . This means is a regular point, by this lemmathis lemma. Theorem If is regular, then is a (global) optimal solution if and only if there exists a such that the KKT conditions are satisfied, i.e., , , , . Proof:
"If" is given by this previous theoremthis previous theorem. "Only if" follows from the previous lemma saying that is regular, meaning we can use the usual KKT theoremKKT theorem. ]]>matematik/optimization/convex-optimization/optimality-conditions.htmlMatematik/Optimization/Convex optimization/Optimality conditions.mdWed, 31 Dec 2025 14:41:03 GMTmatematik/optimization/equality-constraints.htmlMatematik/Optimization/Equality constraints.mdWed, 31 Dec 2025 10:46:23 GMToptimization problemoptimization problem where and is any function. Definition: Feasible direction, descent direction A nonzero is a feasible direction at if there exists an such that for every . is a descent direction at if there exists an such that for every . If is both a feasible direction and a descent direction it is called a feasible descent direction for at . Theorem Suppose is a local optimal solution. Then there does not exist a feasible descent direction at . Proof: Suppose is a feasible descent direction at . Let be a global optimal solution in its neighbourhood of radius . Then there exists a such that and , contradicting local optimality. ]]>matematik/optimization/feasible-directions-and-descent-directions.htmlMatematik/Optimization/Feasible directions and descent directions.mdWed, 31 Dec 2025 09:45:35 GMTmatematik/optimization/the-optimization-problem.htmlMatematik/Optimization/The optimization problem.mdWed, 31 Dec 2025 09:42:41 GMToptimization problemoptimization problem is called a least squares problem whenever it is of the form for some and .
Remark All least squares problems are quadraticquadratic since Theorem A point is optimal for if and only if Proof:
We have where , and . is thus positive semidefinite, so by a previous theoremprevious theorem is optimal if and only if ]]>matematik/optimization/quadratic-optimization/least-squares.htmlMatematik/Optimization/Quadratic optimization/Least squares.mdWed, 31 Dec 2025 08:53:01 GMToptimization problemoptimization problem is called quadratic whenever it is of the form for some symmetric matrix , vector and constant , matrices , , some vectors , and some vector . Theorem Let be a quadratic function given by Then, for every , and , Proof: We have Corollary For any we have Remark is the Hessian of . ]]>matematik/optimization/quadratic-optimization/the-quadratic-optimization-problem.htmlMatematik/Optimization/Quadratic optimization/The quadratic optimization problem.mdWed, 31 Dec 2025 08:50:28 GMToptimization problemoptimization problem is called convex whenever it is of the form where is convex and is convex. Theorem Let be the set of all optimal solutions to . Then is convex. Proof: Let be optimal solutions with optimal value . Then but from optimality we also know , so we have equality. Corollary is either empty, contains one point, or infinitely many points. Proof: Whenever contains two distinct points, the line segment between them is contained and consists of infinitely many points. Theorem Suppose in is strictly convex. Then there is at most one optimal solution. Proof: Suppose are distinct optimal solutions with optimal value . Then, for every , which contradicts strict convexity.
Theorem Suppose is a local minimizerlocal minimizer of in . Then is a global minimizer. Proof: Suppose there exists a with . Let be a neighbourhood of in which is a global minimizer. Then there exists a such that But we have since , contradicting the local minimality of . Theorem Suppose in is continuously differentiable. Then an interior point is a global minimizer if and only if . Proof:
Suppose there is some with . Then for all . Taking the limit as we get contradicting that . Thus is a global minimizer. If is a global minimizer it is a local minimizer, from which it follows from a previous theoremprevious theorem that .
Theorem A point is optimal to if and only if there does not exist a feasible descent directionfeasible descent direction for at . Proof: If there exists a feasible descent direction it is clear that is not optimal. Now suppose is not optimal, and let such that . Then for every , so choosing we get as a feasible descent direction. ]]>matematik/optimization/convex-optimization/the-convex-optimization-problem.htmlMatematik/Optimization/Convex optimization/The convex optimization problem.mdWed, 31 Dec 2025 08:38:41 GMTquadratic optimization problemquadratic optimization problem with equality constraints, where is symmetric and , and . We also assume that has multiple solutions, since the other cases are trivial. Definition: We define as being a matrix whose columns form a basis of . Remark is convex since it is an affine subspace. Theorem: Nullspace method Let . is equivalent to the following unconstrained problem: Proof: All vectors in are reachable as for some . Define by . Then we get Corollary is convex if and only if is positive semidefinite. Proof: The function from the previous proof translates lines from to lines in and applies to them, so is convex on iff is convex, which by the previous theorem is true iff is positive semidefinite. Corollary Let . A point is an optimal solution to if and only if for some such that . Proof:
Follows directly by also applying this theoremthis theorem. ]]>matematik/optimization/quadratic-optimization/equality-constraints.htmlMatematik/Optimization/Quadratic optimization/Equality constraints.mdTue, 30 Dec 2025 17:50:20 GMTquadratic optimization problemquadratic optimization problem without constraints, where is symmetric and . Theorem If is not positive semidefinite, then there are feasible solutions with arbitrarily low cost. Proof: There then exists a direction with . Then, for we get which since goes to as . Theorem If is positive semidefinite, a point is optimal if and only if . Proof:
By a previous theoremprevious theorem, the problem is convex. By another theoremanother theorem, an equivalent statement is that there does not exist a feasible descent direction at . Using another theoremanother theorem, this is true if and only if there does not exist a such that . Whenever we can choose to get , so indeed is optimal iff . Theorem If is positive semidefinite and , then there are feasible solutions with arbitrarily low cost. Proof: Since is symmetric, and are orthogonal. Thus for some and . Since we know . It follows that which we can make arbitrarily small since . ]]>matematik/optimization/quadratic-optimization/no-constraints.htmlMatematik/Optimization/Quadratic optimization/No constraints.mdTue, 30 Dec 2025 17:44:03 GMTDualityDuality we only define dual problems for problems of standard form where is of full row rank. Since this captures every linear optimization problem up to equivalence, we can deduce the dual problems of other forms.First, we remove the constraint of being of full row rank. It turns out that the dual is identical to the case when is of full row rank.
Theorem Consider a linear optimization problemlinear optimization problem in standard form, where is not necessarily of full row rank. Assuming there are solutions to , the dual problem of is for which weak and strong duality still hold. Proof: Let be distinct indices such that the corresponding rows of form a basis for the row space of , and let be the remaining indices. Let denote with rows selected. Since the rows of are linear combinations of rows of we have for some matrix , and since has solutions we must also have . Then is equivalent to whose dual by definition is For we have and so by introducing we see that is free in , so reduces to which is exactly the dual we derived since . Since the cost function has not changed, weak and strong duality must still hold. Now consider instead a problem of canonical form, i.e. Our initial idea of summing equalities now transfers nicely to summing inequalities: with the added constraint that to preserve the inequality direction. It then still holds that whenever i.e. , we get as a lower bound for the cost.Theorem Consider a linear optimization problem in canonical form, The dual problem of is for which weak and strong duality still hold. Proof: By adding slack variables for each constraint in we get a problem in standard form: where and . By the previous theorem its dual is Notice that the last constraints are simply . This is thus equivalent to which is precisely . By the previous theorem and since we haven't changed the cost function, weak and strong duality still hold. Theorem: The complementary theorem Consider a linear optimization problem in canonical form, and its dual . For every and we let Then and are feasible for and , respectively, if and only if Furthermore, and are optimal if and only if it also holds that or equivalently, for all suitable . Proof: The first equivalence is clear: and . For the second equivalence, notice that By strong duality we know are optimal if and only if i.e. Since this is equivalent to . The final equivalence also follows since . Remark In other words, are optimal iff for every , either or , and either or . ]]>matematik/optimization/linear-optimization/duality-for-other-forms.htmlMatematik/Optimization/Linear optimization/Duality for other forms.mdTue, 30 Dec 2025 17:33:21 GMTfundamental theorem of linear programmingfundamental theorem of linear programming gives us an algorithm for quickly finding an optimal solution. One way is to check all possible choices of basic indices, but this quickly becomes slow. The idea with the Simplex method is to repeatedly walk from a basic solution to a neighbouring one with lower cost, until this cannot be done.We assume that we have a basic feasible solution and we wish to move to one with lower cost. "Moving" away from the basic feasible solution means increasing a non-basic variable from zero. Let be the current solution and be the current cost. We must at all times have Definition: Given a basic index tuple we define We then have For the cost, we have Definition: Reduced costs, simplex multipliers Given a basic index tuple , the reduced costs are and the simplex multiplicators are This gives us and Since the non-basic variables must be increased from zero, it is possible to decrease the cost if and only if there is some negative component of .If , then we want to swap some element of with some element of . In other words, we want to increase one component of from precisely until one component of becomes . The component of to increase is just any component with , since this gives a reduced cost. Recall that we have In particular, when we choose to increase and leave the rest of zero we have This means that if at least one element of is positive, some component in will become zero when we increase . Otherwise, we can increase indefinitely and the objective value can thus become arbitrarily small, so then there is no finite optimum. From now on, we assume there is a finite optimum. Then we of course want to increase as little as possible, i.e. only such that one component in is zeroed. We thus choose With the Simplex method we always want to move to the corner that gives the maximally reduced cost, i.e. we choose such that is maximized. This can however be computationally inefficient since we need to compute each time, so instead we sometimes greedily choose the minimum component of .]]>matematik/optimization/linear-optimization/the-simplex-method.htmlMatematik/Optimization/Linear optimization/The Simplex method.mdTue, 30 Dec 2025 15:55:29 GMT ^7bd556" data-href="Convex quadratic functions#^7bd556" href="matematik/optimization/quadratic-optimization/convex-quadratic-functions.html#^7bd556" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">previous theoremprevious theorem that . Thus so is not a descent direction. ]]>matematik/optimization/quadratic-optimization/descent-directions.htmlMatematik/Optimization/Quadratic optimization/Descent directions.mdTue, 30 Dec 2025 10:58:08 GMT ^07607e" data-href="Convexity#^07607e" href="matematik/optimization/convex-optimization/convexity.html#^07607e" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">previous theoremprevious theorem. From the same theorem it follows that if is positive definite then is strictly convex. Now suppose is strictly convex. From 1. we know is positive semidefinite. Suppose it is not positive definite, i.e. there exists some with . Then meaning is linear in the -direction, contradicting strict convexity. ]]>matematik/optimization/quadratic-optimization/convex-quadratic-functions.htmlMatematik/Optimization/Quadratic optimization/Convex quadratic functions.mdTue, 30 Dec 2025 10:41:11 GMTlinear optimization problemlinear optimization problem in standard form, where and we assume . As noted about linear optimization problems, their feasible regions are simply intersections of half-planes, i.e. convex polygons. Note that since we know that moving in the opposite direction of decreases the cost. This means that the optimal solution is the point of in the feasible region that furthest in the -direction. It is thus obvious that the optimal solution cannot be strictly inside the feasible region. More importantly, whenever we consider a non-corner surface point, we see that at least one of the corners connected to the surface must have the same or lower cost; moving in the opposite direction reverses the cost change, so some direction must be in a nonnegative cost direction. It follows that an optimal solution must be a corner.
When considering the linear optimization in standard formstandard form, the feasible region is an intersection of a solution to a linear equation, i.e. an affine subspaces, with the region given by . Corners can thus only happen when sufficiently many coordinates are zero, forcing the rest of the coordinates to a unique solution. The idea is to consider sets of indices representing the only nonzero coordinates.Definition: Basic indices, basic variables Let be a selection of distinct coordinates of , and let be the remaining distinct coordinates. and is a basic (resp. non-basic) index tuple consisting of basic (resp. non-basic) indices. and is the basic (resp. non-basic) variable vector consisting of basic (resp. non-basic) variables, corresponding to . and is the basic (resp. non-basic) matrix, corresponding to . Definition: Basic solution, basic feasible solution Let be a basic index tuple. A solution to is a basic solution whenever . A solution is a basic feasible solution whenever it is basic and feasible. A solution is called degenerate whenever some coordinate of is zero, otherwise non-degenerate. We can now formalize and prove our initial intuition.Theorem: The fundamental theorem of linear programming If there exists a feasible solution, then there exists a basic feasible solution. If there exists an optimal solution, then there exists an optimal basic feasible solution. Proof: Let be a feasible solution. Let be the distinct indices of the nonzero coordinates of . If we are done. Suppose . Then cannot be injective. Take some nonzero and WLOG, assume some coordinate of is negative (otherwise, we could negate to get such a vector). Then there is some smallest such that has some zero coordinate. Since we choose the smallest such , the rest of the coordinates of remain nonnegative. Thus is another feasible solution with one more zero coordinate than . Repeat until . Starting from an optimal solution , the exact same algorithm works. Notice that if , then , but then there exists a with a feasible solution and meaning contradicting the optimality of . Thus we must always have and so at no step of the algorithm does the cost change. ]]>matematik/optimization/linear-optimization/basic-feasible-solutions.htmlMatematik/Optimization/Linear optimization/Basic feasible solutions.mdMon, 29 Dec 2025 19:32:26 GMTlinear optimization problemlinear optimization problem in standard form, where and we assume . Given a linear optimization problem , one can instead consider its dual problem. The idea is that minimizing the cost is the same thing as maximizing a lower bound for the cost. We notice that given a we have This means that whenever we get as a lower bound for the cost . All such 's give us a valid lower bound, and we will discover that the largest such lower bound is actually the optimal value, i.e., it gives a perfect lower bound.Definition: Dual problem The dual problem to is Theorem: Weak duality If and are feasible solutions to and , respectively, thenProof: Using and we get Corollary If and are feasible solutions to and , respectively, and if , then and are optimal.
Using the derivations in the Simplex methodSimplex method we can also prove strong duality. Theorem: Strong duality If and are optimal solutions to and , respectively, then Proof: By weak duality it is sufficient to show that given an optimal solution to there exists a feasible solution to with . Given the existence of an optimal solution, we can assume is a basic optimal solution given by the Simplex method. Recall then that the reduced costs are nonnegative, , where , meaning This means is a feasible solution to . We also have that ]]>matematik/optimization/linear-optimization/duality.htmlMatematik/Optimization/Linear optimization/Duality.mdMon, 29 Dec 2025 10:50:18 GMToptimization problemoptimization problem is in standard form if it is of the form for some matrix , vector and vector .
An immediate observation is that problems of standard form are linearlinear; we simply choose the inequality matrix as , the inequality vector as , the equality matrix as and the equality vector as . However, the implication goes both ways.The idea is that free variables can be represented as differences between nonnegative variables, and that inequality constraints can be replaced by equality constraints where we add a so-called slack variable, "gapping" the distance in the inequality.
Theorem: Standard form Any linear optimization problemlinear optimization problem is equivalent to a problem in standard form. Proof: Consider a linear optimization problem For each variable , add a corresponding variable . Whenever is not a constraint, replace with two variables and replace all occurences of with . This is equivalent to having a free variable since the difference is free. For each inequality constraint, add a so called slack variable and rewrite the inequality constraint as . This is equivalent to the inequality constraint since . Remark Note that we do not restrict ourselves by further assuming that . Since we only consider equality constraints, whenever some constraint can be written as a linear combination of other constraints, the constraint is always implied (or causes a contradiction). Remark It follows directly that every linear optimization problem is equivalent to a problem of the form This form is sometimes called the canonical form. ]]>matematik/optimization/linear-optimization/standard-form.htmlMatematik/Optimization/Linear optimization/Standard form.mdSun, 28 Dec 2025 20:57:18 GMToptimization problemoptimization problem is called linear whenever it is of the form for some matrices , , some vectors , and some vector . Remark Equivalently, the problem is linear whenever the feasible region is and the cost function is Remark Each equality constraint can be captured by two inequalities, so each linear optimization problem is equivalent to one of the form ]]>matematik/optimization/linear-optimization/the-linear-optimization-problem.htmlMatematik/Optimization/Linear optimization/The linear optimization problem.mdSat, 27 Dec 2025 10:16:13 GMToptimization problemsoptimization problems to be "equivalent" is hard, and is not usually done rigorously.Loose definition: Equivalent optimization problems Two optimization problems are called equivalent whenever there are "simple" (as in "easy to compute") functions and such that The difficulty in defining this equivalence arises from optimization theory almost always being applied computationally. If we simply defined two problems being equivalent as the existence of arbitrary such functions as in the definition above, then all problems that have an optimal solution would be equivalent; we can simply let and map everything to an optimal solution.]]>matematik/optimization/equivalences-of-optimization-problems.htmlMatematik/Optimization/Equivalences of optimization problems.mdThu, 25 Dec 2025 17:21:40 GMTmatematik/optimization/lectures/6.-duality.htmlMatematik/Optimization/Lectures/6. Duality.mdWed, 12 Nov 2025 10:32:46 GMTmatematik/optimization/lectures/4.-linear-algebra.htmlMatematik/Optimization/Lectures/4. Linear algebra.mdMon, 03 Nov 2025 13:25:09 GMTmatematik/optimization/lectures/3.-more-simplex-and-degeneracy.htmlMatematik/Optimization/Lectures/3. More Simplex and degeneracy.mdMon, 03 Nov 2025 13:05:19 GMTmatematik/optimization/lectures/2.-simplex-method.htmlMatematik/Optimization/Lectures/2. Simplex method.mdSun, 02 Nov 2025 11:10:12 GMTmatematik/optimization/lectures/1.-optimization-problems.htmlMatematik/Optimization/Lectures/1. Optimization problems.mdTue, 28 Oct 2025 09:19:20 GMTRingRing such that . Definition: Field A field is a commutative skew field. ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/fields.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Fields.mdFri, 26 Sep 2025 13:49:27 GMTMatematik/Groups and rings/Lecture notes/GroupsMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Groups
Permutation groupsPermutation groups
SubgroupsSubgroups
Direct groupsDirect groups
Matematik/Groups and rings/Lecture notes/HomomorphismsMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Homomorphisms
CosetsCosets
Matematik/Groups and rings/Lecture notes/Normal subgroupsMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Normal subgroups
Matematik/Groups and rings/Lecture notes/Cyclic groupsMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Cyclic groups
Matematik/Groups and rings/Lecture notes/Group actionsMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Group actions
Matematik/Groups and rings/Lecture notes/Centers and centralizersMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Centers and centralizers
Matematik/Groups and rings/Lecture notes/Sylow GroupsMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Sylow Groups
Finite abelian groupsFinite abelian groups
Matematik/Groups and rings/Lecture notes/RingsMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Rings
IdealsIdeals
Ring homomorphisms and Factor ringsRing homomorphisms and Factor rings
Euclidean domainsEuclidean domains Rings Comm. rings Integral domains GCD domains UFD's PID's Euclidean domains Fields.]]>matematik/groups-and-rings,-lectures.htmlMatematik/Groups and rings, Lectures.mdFri, 26 Sep 2025 13:49:27 GMT#matematik-discmath
Definition: Axioms of natural numbers We define the natural numbers to be a set together with an operation addition and an operation multiplication such that is a commutative semigroupcommutative semigroup and is a commutative monoidcommutative monoid with unit , with the following axioms: If for any , then . for every
Law of trichotomyLaw of trichotomy
Principle of inductionPrinciple of induction Definition: Multiple of is a multiple of , denoted , if there exists a such that . Theorem If and , then for every . Proof: We have and . This gives by the distributative property. Definition: Less than, greater than Let . We say that is less than , denoted , if there exists an such that . If is less than , we say that is greater than and write . Axiom: Law of trichotomy Exactly one of the three statements is true for any . An important consequence of this definition is that for every .Theorem: Reflexivity of If and , then . Proof: We have and , so . Theorem Let . If , then . Proof: Assume . WLOG, let . Then , so which means which is clearly false since and only one can be true at once. ]]>matematik/discrete-mathematics/natural-numbers.htmlMatematik/Discrete mathematics/Natural numbers.mdFri, 26 Sep 2025 13:48:18 GMT#matematik-groups
Definition: Homomorphism Let and be MonoidsMonoids with units , respectively. A map is a monoid homomorphism if and for all . If are GroupsGroups, we call a group homomorphism. Theorem Let be a map between groups. If for all , is a group homomorphism, and . Proof: Since are units, we have so is a group homomorphism. Furthermore, we have so . Definition Let be groups. We define... as the set of all homomorphisms from to , as the set of all endomorphisms of , as the set of all automorphisms of . If a group homomorphism is... Injective, it is called a monomorphism Surjective, it is called a epimorphism Bijective, it is called an isomorphism Theorem: Compositions of homomorphisms are homomorphisms Let be groups, and . Then Furthermore, if is a group, is a group. Proof: We have so . Furthermore, we know that the composition of two bijections is a bijection, hence for all . We also know that the identity bijection is in , and that every bijection has an inverse also in , so is indeed a group. Definition Let be groups, and . We define the kernel We also define the image Theorem Let be groups, and . Then is injective is surjective Proof:
7. {a} If , then , so which means according to TheoremTheorem. 8. For any we have , meaning . 9. We know , so if is injective we get . If instead and we get so is injective. 10. This is true by definition. 11. For all we get since is a group, so . 12. We have . For any we have since is a group. Example Let be a group and be a homomorphism. Then we have So any homomorphism from to a group is uniquely determine by where it maps . Note that this also holds for negative numbers since respects inverses. Definition: Translation Let be a group and . We define the (left) translation map by as where for all . We note that translation by is generally not a homomorphism since . However, the map that takes to is an injective group homomorphism since and every if since and . This means can be identified with its image in , which thus is a subgroup of (for finite groups, this is the result of Cayley's theorem).Of course, we can also define the right translation map, and get basically the same results, but the maps are of course generally not the same. This asymmetry leads us to also look at conjugation.Definition Conjugation Let be a group and . We define the conjugation by as where for all . is also called an inner isomorphism of . And we define . We know that because , and is clearly an inverse of . This time, however, we only get that the map that takes to is still a homomorphism, but generally no longer an injective one. It's a homomorphism since and , but generally not injective since for example, if is abelian, we get for every .]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/homomorphisms.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Homomorphisms.mdFri, 26 Sep 2025 13:48:18 GMT#matematik-groups Definition: Permutation group Let be a set. We then define the permutation group on as together with composition .
We can quite easily see that for any , is a GroupGroup under composition . However, it is not necessarily commutative since the compositions of bijections are not necessarily commutative; swapping the first two elements and then the second two among three elements is different from swapping the second two and then the first two.Permutation groups are groups Let be a set. Then is a group. Proof: If we know since the composition of two bijections is a bijection. Compositions are associative, and by definition invertible with the identity on as the unit element. Notation If , we define and call it the symmetric group of degree or the group of permutations of elements. ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/permutation-groups.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Permutation groups.mdFri, 26 Sep 2025 13:48:18 GMT ^5927de" data-href="Matematik/Groups and rings/Lecture notes/Groups#^5927de" href="matematik/groups-and-rings/lecture-notes/groups.html#^5927de" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">Abelian groupAbelian group, is a monoid, is distributive over , meaning for every . The additive and multiplicative unit elements are denoted and , respectively, and are called identities in the context of rings. The additive inverse of is denoted . Theorem Let be a ring. Then for every . Proof: , and the same for . , and the same for . Definition: Subring, ring extension Let be a ring. is a subring of if is a ring and . The pair is called a ring extension. Definition: Unit Let be a ring. Then whose elements are called units. ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/rings.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Rings.mdFri, 26 Sep 2025 13:48:18 GMT#matematik-groups
Definition: Submonoid, subgroup Let be sets, and . If and are MonoidsMonoids under the same operation, is called a submonoid of . If and are GroupsGroups under the same operation, is called a subgroup of and we write . We see that every group contains two trivial subgroups: itself and the trivial group . If a subgroup is not one of these two trivial subgroups, we often call it nontrivial.From this definition the following theorems follow directly and so we state them without proofs.Theorem Let be a monoid with unit , and . Then is a submonoid of if and only if and for all . Theorem Let be a group and . Then is a subgroup of if and only if is a submonoid of and for all . We also find that we can find an often easier equivalent requirement for a subset to be a subgroup.Theorem Let be a group and where . Then is a subgroup of if and only if , or in other words, for all . Proof: If is a subgroup of , it is clear that since is a group and thus closed under composition and inverses. If instead , we can take any and know that , so . This also means for all , which finally means that for all . So is indeed a subgroup of . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/subgroups.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Subgroups.mdFri, 26 Sep 2025 13:48:18 GMTmatematik/groups-and-rings/lecture-notes/free-modules.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Free modules.mdThu, 11 Sep 2025 08:32:25 GMTTheoremTheorem a) Applying LemmaLemma iteratively ields a chain of fields such that for every , is algebraic over and for every there is a such that . Then is a field. We need to show that 1) is algebraic over , and that 2) is algebraically closed. 1) We prove by induction on that is algebraic over . If or this is clear. If , is algebraic over , and is algebraic over by the induction hypothesis, meaning is algebraic over . 2) Let . Since has finitely many nonzero coefficients, there is some index such that . This means has a root in the next field, i.e. there is an such that . Lemma Let be a field and be a simple algebraic field extension with minimal polynomial . Also, let be a field homomorphism. a) If is a field homomorphism with , then b) For every root with , there is a unique field homomorphism with and . Hence Proof: a) b) Uniqueness: . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/f13.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/F13.mdTue, 13 May 2025 14:46:47 GMTTheoremTheorem a) Let be an algebraic closure of , and . Taking derivatives on yields . Hence has no multiple roots in . Hence has distinct roots in . Hence define Now check that is indeed a field: let , i.e. and . Then 1. The last equality is true because if is even then meaning is the same as . 2. . b) Due to uniqueness of splitting fields. ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/finite-fields.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Finite Fields.mdMon, 12 May 2025 14:00:09 GMTmatematik/groups-and-rings/lecture-notes/field-extensions.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Field Extensions.mdTue, 29 Apr 2025 11:02:27 GMT#matematik-groups Definition: Centralizer, center Let be a group and be any subset. The centralizer of is and the center of is Remark Every centralizer is a subgroup since if then . Also, is the kernel of where , since if and only if for every , if and only if for every . Finally, since it is a kernel, and . Theorem A group is abelian if and only if is cyclic. Proof: If is abelian, so is the trivial group and therefore cyclic. Now assume is cyclic, so for some . Take any . We get and , meaning and for some , which in turn means Definition: Representative, system of representatives For any orbit , an element is called a representative of . A system of representatives for a family of orbits is a family of representatives where is a representative of for every . Theorem: The Class Equation Consider the conjugation action of a finite group and let be a system of representatives of the orbits contained in (where '' denotes setminus). Then Proof:
The point of the theorem is that can be partitioned into its conjugacy classes, which are the equivalence classes with conjugacy as equivalence relation. We know each element in has only itself as conjugacy class, since every conjugation does nothing. Hence instead of writing out for every element in we combine them into just . So left to sum is the sizes of all conjugacy classes larger than one. We see that since our group action is conjugation, the conjugacy classes are precisely the orbits. Also, we see that is just the StabilizerStabilizer of , meaning is indeed the size of the orbit of , by the Orbit stabilizer theoremOrbit stabilizer theorem. Corollary If where is prime, then is abelian. Proof: We know is a normal subgroup, meaning its order divides , meaning it's either 1, , or . If , then , meaning is abelian.
If , then , meaning is cyclic by TheoremTheorem, meaning is abelian. Note that since is abelian, , so this case doesn't even happen.
If , the Class equationClass equation gives that where we know each is either , or , and since they are all greater than (since only the orbits of elements of have size ), it's either or . This means the right hand side is divisible by , but clearly the left hand side isn't, meaning . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/centers-and-centralizers.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Centers and centralizers.mdWed, 16 Apr 2025 11:51:12 GMT#matematik-groups Definition: Conjugate Let be a group. is conjugate to if there exists a such that . is conjugate to if there exists a such that . Definition: -group, -Sylow subgroup Let be a finite group and be prime. is a -group if for some . is called a -Sylow subgroup if for some and where . In other words, given a group whose order is the prime factorization , a -Sylow subgroup is a subgroup with order .Lemma Let be a group with for some prime and some , and let be the number of subgroups in of order . Then In particular, is dependent only on the order of . Proof:
Let . Then acts on via . With respect to this group action, let be a system of representatives of the -orbits. Then by the Orbit stabilizer theoremOrbit stabilizer theorem and Orbit equationOrbit equation. Claim 1 For every , is a -group. Proof: We have , meaning acts on via . Since this action is injective, we know each orbit has size . This means we get meaning so for some . From this claim, we now get that meaning Claim 2 Proof: Each corresponds to a unique such that as -orbits in , since all 's are a system of representatives for the orbits. This defines a map Claim a) Proof: Let . Then, like before, there is an such that , as orbits in . From before, we have We also know so we know meaning , so . Claim b) Proof: Let , meaning . From before, we have that This means must be the only orbit, meaning we can choose a and get that . This means where the first equality holds because . Then, since , we can simply let making a subgroup of that satisfies , meaning , so . Claim c) is injective Proof: Let such that . Then we have , meaning there is a such that , meaning is a group, so meaning . Hence is a bijection between and . By definition, , so from earlier we have Theorem Let be a group with for some prime and some , and let be the number of subgroups in of order . Then In particular, . Proof:
We know the cyclic group has a unique subgroup of order , meaning , meaning , and by LemmaLemma, we thus know that the latter is true for too. Lemma Let be a group, be a -subgroup and be a -Sylow subgroup. Then there exists a such that . Proof: We let act on via . We then get that which is clearly not divisble by . We also know that every orbit has a representative for some , giving which we know divides for some , so for some , and since the sum of all sizes of orbits are not divisible by , some must be , so that for some , meaning that for every , Theorem: Sylow Theorems Let be a finite group and be prime. contains at least one -Sylow subgroup. More precisely, for any -subgroup there is a -Sylow subgroup such that . Let be a -Sylow subgroup and . Then is a -Sylow subgroup if and only if is conjugate to . Let be the number of -Sylow subgroups of . Then and . Proof:
4. {a} First part follows from TheoremTheorem, second from the first part and LemmaLemma. 5. : Clear since conjugation is an automorphism.
: By LemmaLemma there exists a such that meaning since they are of the same size.
6. Let . Then by b) we know acts transitively on , meaning only one orbit exists. Hence for every , , so From TheoremTheorem we also know . Lemma Let be a group and such that . Then For every and , . is a group homomorphism. is injective. Proof: 4. {a} We have since is normal, and likewise, since , too, is normal. Since , we thus know . 5. We have by (a). 6. We have Corollary Let be a finite group and be prime. If , then there exists a such that . is a -group for every there exists a such that . Let . Then is a -Sylow subgroup of if and only if is a maximal -group in . Let be a -Sylow subgroup. Then . Proof:
5. {a} We know by TheoremTheorem that there is a -Sylow subgroup of some order for some positive . This means there is an where , and we know , so for some positive . We then get that has order since . 6. Let . We have since . : Let be a prime such that . Then by (a) there is a such that , which by our assumption means . 7. : We know and for some and where . Then we know any -subgroup has order where since its order must divide , meaning it is at most as large as . : Since is a -group in , there is a -Sylow subgroup containing , and by the maximality of , must be that -Sylow subgroup.
8. By TheoremTheorem we know all -Sylow subgroups are conjugate, meaning if and only if there is only one -Sylow subgroup, it is invariant under conjugation, meaning it's normal. ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/sylow-groups.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Sylow Groups.mdSat, 12 Apr 2025 16:06:51 GMT#matematik-groups Definition: Cyclic group Let be a group and . Then is the smallest subgroup of containing , called the subgroup generated by . If for some , we write and call it the cyclic group generated by . Theorem Let be a group and . Then Proof: Let be the right hand expression above. By the construction of , we know . We also know that , so . For any such that it is clear that since each element of is in and thus all compositions of elements of . Thus , so . Remark Cyclic groups are abelian since . Example is called the free cyclic group. For any we also have and If we get which is called the cyclic group of order . We call them the free cyclic group and cyclic groups of order because we can show that every cyclic group is isomorphic to one of these. For that we first need a few lemmas.Lemma If is a group, is cyclic if and only if there exists a surjective . Proof: : We have . : Let , and we get , which combined with the fact that is surjective means that . Lemma If , then for some . Proof: If , then . Otherwise, let (which exists since if then ). Then we clearly have . Finally, let . Then we have for some , which means , implying that by minimality, so . Theorem Let be a cyclic group. Then If , . If , . Proof: Since is syclic there exists a surjective . The universal property gives a bijection . We know for some , so where in the first case, , and in the second, . Theorem Let be a cyclic group and . Then is cyclic. Proof:
By LemmaLemma, there exists a surjective homomorphism , so . By LemmaLemma, there exists an such that . If , then , and otherwise, which by LemmaLemma means that is cyclic. Definition: Order of element Let be a group and . The order of is This means that if , and .Theorem: Fermat's Little Theorem Let be a finite group and . Then Proof:
The divisibility follows from Lagrange's TheoremLagrange's Theorem, and the second part follows from the fact that . Corollary: Fermat's Little Theorem, classic version Let be prime and . Then Proof: Let (recall that '' denotes exclusion of zero). We first show that is a group with respect to multiplication. Multiplication is well defined as since divides neither nor , so does not divide either since is prime, meaning , so . Furthermore, this multiplication is injective since if , then , so meaning since . This means , so . Since is clearly a unit element, it follows that inverse elements exist, hence is a group under multiplication. Now, if , then . Otherwise, we have , which by the group theoretic version of Fermat's Little Theorem means that Corollary Let be a finite group with order , where is prime. Then , For all , , and . Proof: b) Since , we know since is prime and . Hence , so .
a) From TheoremTheorem, we know . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/cyclic-groups.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Cyclic groups.mdFri, 11 Apr 2025 15:55:42 GMT#matematik-groups
Definition: Coset Let be a group and be a SubgroupSubgroup. A left coset of in is a subset of the form where . We define as the set of all left cosets of in . Right cosets are defined analogously, so and . The elements of a coset of in are called the coset's representatives. We quickly see that it doesn't really matter if we are using left or right cosets since they essentially contain the same information. Consider the bijective map . It restricts to a map meaning it defines a bijection .Theorem Let be a group and . The following are equivalent: , , , . Proof: (i)(ii): Clear since . (ii)(iii): Let . Then for some . This gives . (iii)(iv): We have for some , so . (iv)(i): For every we have and for every we have . Corollary For any group and subgroup , is the disjoint union of all left cosets of in . Definition: Order, index Let be a group and be a subgroup. The index of in is and the order of is Theorem Let be a group, be a subgroup and . Then there is a bijection; in particular, . Proof: Translation by is bijective, hence the result. Corollary: Theorem of Lagrange If is a finite group and is a subgroup, then ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/cosets.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Cosets.mdFri, 11 Apr 2025 13:02:49 GMTmatematik/groups-and-rings/lecture-notes/modules.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Modules.mdTue, 01 Apr 2025 14:37:30 GMTTheoremTheorem says are unique if they aren't units, and if they are units they are also unique since units only factor into units. Hence uniqueness follows. Definition: Let be a UFD, and be prime.
a) For every , is the exponent of (the equivalence class of) in the factorization in TheoremTheorem. Also, . b) For every , Lemma Let be a UFD, and . a) prime, prime such that b) prime, Proof: a) Both -directions are clear, and if we know each meaning each so . b) If the result is clear by a). Otherwise, is clear since then each . Now, if prime, , then every , meaning each so . Definition: Primitive polynomial Let be a UFD. is primitive if is a of its coefficients. Lemma Let be a UFD and . a) is primitive prime, . b) such that and is primitive. Remark: is called the context of , and is unique up to units. Proof: a) : Suppose is primitive and let be prime. Then is a common divisor of the coefficients of , so we must have . : Let be a common divisor of the coefficients . If we are done, so suppose . Then has a prime factorization, meaning there is some prime common divisor of the coefficients. But this means every so , which is a contradiction. Hence so is a of the coefficients. b) Let be but for any every prime where , is multiplied by . Then every fraction turns into an element of and any non-unit common divisors are eliminated. Formally, it is then clear that for every prime , which by a) means it's primitive. The final multiplier clearly lies in . Lemma Let be a UFD, prime, and . Then, for any , Proof: Let and . Then there are minimal such that and , meaning the :th coefficient is and since are minimal, only one term in this sum, namely , has , while all other have . This means that . This is also clearly a lower bound of , hence we are done. (not confident about this proof but this is my intuition) Lemma Let be a UFD, , be primitive, and . Then Proof:
For every prime we know and by LemmaLemma. Hence if we know meaning for every prime , meaning . Theorem Let be a UFD, , and . a) Let . Then is prime in is prime in . b) Let . Then is prime in is primitive and prime in . Proof: a) Let and let be the canonical projection (we use instead of because we want to distinguish between ideals in and in ). Then is a surjective homomorphism, with Hence With this, we have b) : We know there are and such that . Since we must have . Since is prime, we thus have or , but since we must have , meaning there is a such that . Thus meaning so , meaning is primitive. We now show that is irreducible in (equivalently, prime). Suppose for some . Then there are and such that and . Then , and is prime, hence irreducible, so either or meaning either or , so is irreducible in . : Suppose for some . Then clearly in , so since is prime in , we can WLOG assume in , so that for some . Since is primitive, we have for every prime , meaning . Hence in , so is indeed prime in .
Proof of Gauß TheoremGauß Theorem Let be a UFD and . Let . By LemmaLemma, there are and a primitive such that . Since , by LemmaLemma we must have . Thus either or for prime 's. By TheoremTheorem, the 's are also prime in . Hence it remains to show that has a prime factorization in . If we have , so we are done. Now assume , i.e. that . Since is a UFD ( is an ID, so is too), we know for prime . Each for and primitive , which means each is prime in . Let . Then By LemmaLemma we must have , meaning is a prime factorization of . Theorem: Eisenstein's criterion Let be a UFD, and let be a primitive non-constant polynomial. Suppose that there is a prime such that for Then is irreducible. Proof: Suppose for contradiction that for some and . Note that since is primitive. Since , we have . Since and is prime, we can assume WLOG that and (since it cannot be that divides both and ). Now, let be maximal such that for (note that ). Consider . Since , we conclude , and therefore . But then implying , meaning which is a contradiction. ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/unique-factorization-domains.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Unique Factorization Domains.mdTue, 01 Apr 2025 13:41:47 GMT#matematik-groups Theorem: Polynomial division Let be a commutative ring and such that the leading coefficient is a unit in . Then, for every there are unique such that where . Proof: Claim for every . Proof: Clear if . Otherwise, so . We now first prove existence. Let and . We induct on . If , then meaning we can pick . Now assume . If then we can choose and and we are done. Now assume . Then, consider which cancels out the highest degree term, meaning , so by induction can be divided with remainder, and plugging everything in we are done. We now prove uniqueness. Let such that and where . We then get and we have but also , meaning , so . Definition: Euclidean domain A Euclidean domain is an integral domain together with a map that satisfies that for every and there are such that where or . is called the Euclidean function or degree function. In summary, we need some notion of the remainder of division being "smaller" than the divisor. In the context of integers, it is just being smaller in an absolute sense, but for polynomials it's the degrees being smaller. Also, any field is a Euclidean domain with any function since division is always defined in with zero rest.Theorem Every Euclidean domain is a PID. Proof: Let be the Euclidean delta function on , and let . Then, if it is principal so we are done. Now assume , and choose an such that is minimal. Let . Then for some where or . But we have so we can't have , meaning so , meaning . Not every PID is a Euclidean domain though. A horrific example is which is a non-Euclidean PID.Also, from this theorem we immediately know that is a PID.Euclidean algorithm Let be a Euclidean domain. The Euclidean algorithm takes and outputs a of and . First, let and . Then, for if then , and if then compute and such that and or . Return such that and . Proof: For , the sequence of is strictly decreasing (as long as ) meaning it must at some point hit . Furthermore, for and we have and if and only if and , meaning any of and is also a of and . Hence , which is a of and , is a of and . Corollary: Extended Euclidean algorithm Let be a Euclidean domain and . Then the Eucliden algorithm yields such that the returned is . Proof: From the Euclidean algorithm we will have , , and so on until we have . By isolating the remainders, we see that in the end, is a sum of multiples of and multiples of . Corollary: The extended Euclidean algorithm can be used to compute a , , of many elements , and to find such that . Proof: Exercise, but show that . Theorem Let be an integral domain and . Then, if , then is a of . In particular, in PID's, 's always exist. Proof: Since every , we know , so is a common divisor. Also, since we have , so is a .
Corollary In PID's, the implication in TheoremTheorem is an equivalence. Proof: Since is a PID, for some . Then is a . In integral domains 's are unique up to units, so for any we have , in particular, . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/euclidean-domains.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Euclidean domains.mdThu, 20 Mar 2025 10:40:10 GMT#matematik-discmath Definition: Binary code A binary code of length is a subset , and an element of is called a code word. Definition: Distance between words The distance between two code words is The distance is thus the number of differing bits.Theorem The distances between code words define a metric on . Proof: It is clear that and . Furthermore, we have Definition: Smallest distance Given a binary code the smallest distance is Definition: Nearest neighbour decryption Nearest neighbour decryption means interpreting a potentially erroneous received word as the closest word in , in terms of distance . Theorem A code can correct errors with nearest neighbour decryption if Proof: Begin with any word and apply errors to get , meaning . Now, let where . Then, by the triangle inequality we have meaning is the nearest neighbour of . Linear code A binary code is linear if it is a linear subspace of , i.e. for every . Here, is thus treated as a vector space over the field . The dimension of is the dimension of when treated as such a vector space. Weight of a word For any , the weight of is the number of 's in , i.e. Theorem Let be linear, and . Then Proof: For any we have , and since is linear, we have , so we must have . Definition: Parity-check matrix A parity check matrix is a matrix . It gives rise to a linear code Theorem Let and . If all columns of are nonzero and distinct from each other, then can correct error. Proof:
All columns of being nonzero and distinct from each other means that they are pairwise linearly independent. Hence any has at least 's. By TheoremTheorem, this means , which by TheoremTheorem means can correct error. Definition: Hamming code Given an , a Hamming code is the kernel of a parity-check matrix containing all nonzero column vectors exactly once. Importantly, by our previous theorem Hamming codes can thus correct error.Theorem A Hamming code generated by has dimension . Proof: It is clear that the image of is of dimension , and that the preimage is of dimension , meaning . Theorem Among all binary codes with words of length that can correct error, the Hamming code with words of length is the largest, i.e. has the greatest number of words. Because of this, we call the Hamming code perfect. Proof: Let be a code that can correct error. We must clearly have . For any we can define and thus get that all are disjoint since . We also know meaning We already know the dimension of the hamming code is , so its size is (we have -coefficients to choose) meaning it's at least as large as . ]]>matematik/discrete-mathematics/error-correcting-codes.htmlMatematik/Discrete mathematics/Error correcting codes.mdWed, 12 Mar 2025 19:37:33 GMT#matematik-discmath
Definition: Matching, maximum matching, complete matching A matching in a GraphGraph is a subset such that no two edges in have a common vertex. If a vertex is contained in an edge in it is called matched, otherwise unmatched. A maximum matching of is a matching such that no matching of has strictly greater cardinality. A complete matching or perfect matching of is a matching such that every vertex is matched. Definition: Alternating path Let be a graph and be a matching of . Then the path where is an alternating path for if the edges are in but the edges are not in , for all , and and are unmatched. Theorem Let be a graph and be a matching of . Then there is an alternating path for if and only if is not maximal. Proof: : Let be an alternating path for . Then, remove all edges from and insert all edges . The resulting matching is still a matching since and were previously unmatched. We thus removed edges and added edges, resulting in a larger matching, hence was not maximal to begin with. : Let be a maximum matching, and let be the set of edges which are in or but not in both. is nonempty since is not maximal. Consider the graph . Every vertex must have degree at most , meaning consists of cycles and/or paths. In a cycle, precisely every second edge would need to belong to and every second to , so if consisted only of cycles we would have which is false. Hence can only have more edges if there is a path with an odd number of edges where there is one more edge from than from . This is then clearly an alternating path for . We now focus on matchings in bipartite graphs. Here, we sometimes say that is complete as long as . If there will be some unmatched vertices of , but we sometimes ignore these.Definition: Deficiency The deficiency of a bipartite graph is where is the set of neighbours of . Theorem The size of a maximum matching in a bipartite graph is Proof:
It is clear that is an upper bound for since if such that , then for any matching, at least vertices of are unmatched. By TheoremTheorem, it is thus sufficient to show that given any matching with , there is an alternating path for . Let contain the unmatched vertices of , so . Then so there is a . If is unmatched we are done. Otherwise, let be matched with . Then , so there is another vertex which is a potential end of an alternating path. By continuing this process, we always reach new vertices of , so since the graph is finite, we will eventually reach an unmatched vertex of , to which we can create an alternating path from some vertex in . Definition: Hall's condition Let be a bipartite graph. Hall's condition is the statement that for every . In other words, that . Corollary A bipartite graph has a complete matching if and only if Hall's condition is satisfied. Method: Finding a maximum matching Start with any matching with at least one edge. Search for an alternating path for . If an alternating path is found, construct a larger matching by "inverting" the alternating path, i.e. adding every edge of the path that was not in , and removing the ones that were. Then repeat from 2. If no alternating path can be found, we are done. Method: Finding an alternating path The brute force way is to choose an unmatched vertex and see if there is an alternating path starting with by just trying everything recursively. ]]>matematik/discrete-mathematics/matchings.htmlMatematik/Discrete mathematics/Matchings.mdWed, 12 Mar 2025 18:54:34 GMT#matematik-discmath
Definition: Matching, maximum matching, complete matching A matching in a Bipartite graphBipartite graph is a subset such that no two edges in have a common vertex. If no matching of with greater cardinality than exists, is a maximum matching of . If , is called a complete matching or perfect matching of . Definition: Alternating path Let be a bipartite graph and be a matching of . Then the path is an alternating path for if the edges are in but the edges are not in , for all , and and do not belong to any edge of . Definition: Hall's condition Let be a bipartite graph. Hall's condition is the statement that for every , where is the set of neighbours of . Theorem A bipartite graph has a complete matching if and only if Hall's condition is satisfied. Proof: : Let be a complete matching and let . We know each has a corresponding such that , and since this is unique with respect to , we know there are at least neighbours of . : The idea is to show that given a matching where we can construct a matching with . Let be a vertex not matched by . Then we have , so there is a where is an edge not in . Now add to . If was previously unmatched, we are done. Otherwise, there was an , which we remove from . Then we have , so we can repeat this process for , always reaching unique elements of and , meaning the process must eventually stop since the graph is finite. Since the process stops once we hit an unmatched , we will have added an edge to , meaning . Definition: Deficiency The deficiency of a bipartite graph is Note that since we can choose . This means Hall's condition is equivalent to .Theorem The size of a maximum matching in a bipartite graph is Proof: Let such that . This means that for any matching, at least elements of are unmatched, so . Remains to show that such a matching exists. Let be a set of elements and let where , , and where is the set of all edges between and . Then we have meaning by the definition of . This means satisfies Hall's condition, meaning has a complete matching . Now we can remove the edges from which have a vertex in , and obtain a matching of size . Theorem If a matching in a bipartite graph is not a maximum matching, then contains an alternating path for . Proof: Let be a maximum matching, and let be the set of edges which are in or but not in both. Then the graph with edges and vertices of the edges of is a graph where each vertex has either degree or , meaning the components of it are paths or cycles. For any cycle, precisely every second edge must be in , since both and are matchings, meaning if all components are cycles, then , which is not true, so there must be at least one component which is a path of odd number of edges, and this must be an alternating path of . This proof gives a strategy to find a maximum matching.Method: Finding a maximum matching Start with any matching with at least one edge. Search for an alternating path for . If an alternating path is found, construct a larger matching by "inverting" the alternating path, i.e. adding every edge of the path that was not in , and removing the ones that were. Then repeat from 2. If no alternating path can be found, we are done. Method: Finding an alternating path The brute force way is to choose an unmatched vertex and see if there is an alternating path starting with by just trying everything recursively. ]]>matematik/discrete-mathematics/matchings-(old).htmlMatematik/Discrete mathematics/Matchings (old).mdWed, 12 Mar 2025 17:28:48 GMT#matematik-discmath
Definition: Network, weight function A network is a Directed graphDirected graph together with a weight or capacity function . Definition: Source, sink Let be a network. A source is a vertex such that all arcs containing are directed away from . A sink is a vertex such that all arcs containing are directed towards . We will consider networks where a source and sink exist.Definition: Flow A flow from the source to the sink in a network is a function such that for every where , and where for every , where is the capacity function. Theorem Let be a network with a source and sink , and let be a flow in . Then Proof: We have Definition: Value The value of a flow is Definition: Cut Let be a network and be a partition of such that and . Then is called a cut, and the capacity of the cut is Theorem If is a flow from to and is any cut, then Proof: Theorem If is a flow from to and is any cut, then . Proof:
By TheoremTheorem, we have Now, suppose that is a maximum flow and that is a cut with corresponding minimum capacity. From the theorem above we thus know that We will see later that this is actually an equality.Definition: Residual graph Let be a network and a flow in . The residual graph of with respect to is a network with the vertices of , and where For each edge , if , there is a forward edge in with capacity . For each edge , if , there is a backward edge in with capacity . The residual graph thus shows where additional flow can be added or removed. The forward edges show where additional flow can be introduced without exceeding the capacity, and the backward edges show where flow can be removed without introducing negative flow.Definition: Augmenting path Let be a network and a flow in with residual graph . An augmenting path is a directed path in from to . A way to maximize flow given a network is now clear; find an augmenting path and introduce more flow along it. Specifically, it is clear that a flow of precisely the minimum capacity along the augmenting path can be introduced. We can show that by repeating this process until no augmenting path exists, always yields a maximum flow.Theorem Let be a network. The maximum value of a flow from to is equal to the minimum capacity of a cut separating and . Proof:
Let be a flow in , and let be its residual graph. If there is an augmenting path in , introduce a flow of precisely the minimum capacity along the augmenting path. Repeat this process until there is no augmenting path. We are thus left with a flow in such that there is no augmenting path. Let be the vertices reachable by directed paths from in (such paths are sometimes called incomplete augmenting paths), and be the rest of the vertices. Then, for any and where we know since if there would be an edge in making reachable from , contradicting that . Hence Furthermore, for any and where we know since if there would be an edge in making reachable from , contradicting that . Hence By TheoremTheorem, this flow is maximal. ]]>matematik/discrete-mathematics/networks-and-flows.htmlMatematik/Discrete mathematics/Networks and flows.mdTue, 11 Mar 2025 13:31:46 GMT#matematik-discmath
Definition: Type Let . The type of is the partition of corresponding to the sizes of the CyclesCycles of . Definition: Conjugate permutations Let . If there exists a permutation such that we say that and are conjugate. Theorem Let . Then and are conjugate if and only if they have the same type. Proof: : Let such that . We see that , meaning any -cycle of has a corresponding -cycle of which is just the image of on the cycle. : We want to construct a such that . For each subset on which is a -cycle there is a corresponding on which is a -cycle. Let and . Then define for every . We then get that We see then that on is a bijection to , so when this is done for every and corresponding , we get a bijection which satisfies . Definition: Transposition A transposition is a permutation which only interchanges two elements, meaning it has only one -cycle and the rest -cycles. We quickly see that any cycle can be written as a composition of transpositions, for example, . Since any permutation is the composition of cycles, any permutation is the composition of transpositions.Notation For any we denote the number of cycles of by . Lemma For any and transposition , is either or . Proof: We have two cases: either transposes elements in a single cycle of , or elements in different cycles of . In the first case, suppose we have a transposition of and , meaning we have since and , meaning . In the second case, suppose we have a transposition of and , meaning we have since and , meaning . Theorem Let be the composition of transpositions and also the composition of compositions. Then and have the same parity. Proof:
Follows from LemmaLemma since adding or removing from the total number of cycles must be done an even amount of times when going from the first composition of transpositions to the second, for the total number of cycles to be unchanged. Definition: Even permutation, odd permutation A permutation is even if it is the composition of an even number of transpositions, otherwise odd. The sign of a permutation , denoted , is if it is odd, otherwise . We notice that if can be written as transpositions and can be written as transpositions, then .Theorem For any integer exactly half of the permutations in are even and exactly half of them are odd. Proof: Let be all unique even permutations of . Then take any transposition . We see that are all odd, and that if , then , so they are all unique. Now for any odd we know is even, meaning for some , meaning , but so meaning every odd permutation is among . ]]>matematik/discrete-mathematics/classification-of-permutations.htmlMatematik/Discrete mathematics/Classification of permutations.mdMon, 10 Mar 2025 14:35:58 GMT#matematik-discmath
Take two finite sets and consider a subset of the Set of all pairsSet of all pairs of elements from and . Now say we want to count the elements in . For each we can define and then get Likewise, we can define and then get Theorem: The multiplication principle Let be finite nonempty sets and be nonempty. Then with and . Also, if for every and for every , then . Furthermore, . Proof:
Each set in is clearly disjoint, so the sum of their sizes is the size of the union, by TheoremTheorem. The union of them is precisely since if then is in the set of . The same goes for , so the first part is done. From this, it immediately follows that if and for every and . Finally, if we let we have for every , so . ]]>matematik/discrete-mathematics/combinatorics.htmlMatematik/Discrete mathematics/Combinatorics.mdMon, 10 Mar 2025 14:13:19 GMT#matematik-discmath We notice that an unordered selection without repetition is just a subset.Definition: Binomial numbers Let be a set of size . Then which are called binomial numbers, pronounced choose . Theorem Let such that . Then Proof: Let be a set of size and . Any -subset of either contains or doesn't, and is the number of ones that do contain , and is the number of ones that don't. The fact that Pascal's triangle contains binomial numbers follows directly from this theorem.Theorem Let such that . Then Proof: Can be shown with induction using Pascal's triangle. Alternatively, we know that is the number of ordered selections of elements from without repetition, so dividing by removes the ordering, obtaining the formula above. Theorem The number of unordered selections with repetition of objects from is Proof: Informally, we imagine placing "separators" in a list of places and let the empty places represent the chosen elements; specifically if an empty place is between separator and separator , the separator represents element being chosen. Theorem: The Binomial theorem Let . Then Proof: Follows from commutativity of multiplication; the number of 's is the number of way to choose 's among the factors . ]]>matematik/discrete-mathematics/unordered-selections.htmlMatematik/Discrete mathematics/Unordered selections.mdMon, 10 Mar 2025 13:40:49 GMT#matematik-discmath We notice that a function is uniquely determined by the -tuple Definition: Word Let be a nonempty set. A function is called a word of length in the alphabet . Remark can also be seen as a mathematical model of an ordered selection with repetition of things from the set . For example, we may let denote the function where , , .Theorem Let be nonempty finite sets where and . The set of all functions from to has size . Proof:
We know a function is corresponds to an -tuple of elements of , meaning an element from . The Multiplication principleMultiplication principle gives . We notice that if we restrict the functions to only injective ones, we instead model selection without repetition of things from .Theorem The number of ordered selections without repetition of things from a set of size is the number of injections from to , which is given by Proof: We have options for , options for and so on. ]]>matematik/discrete-mathematics/words-and-selections.htmlMatematik/Discrete mathematics/Words and selections.mdMon, 10 Mar 2025 13:35:13 GMT#matematik-discmath
Definition: Bipartite graph A graph is bipartite if , where is the Chromatic numberChromatic number of . Theorem A graph is bipartite if and only if it contains no cycles with odd length.
Given any RelationRelation between disjoint sets and , we can create a bipartite graph describing the relation, by taking and letting . Clearly it's bipartite, since we can simply color all of with the first color, and all of with the second.Theorem Let be a bipartite graph and let be the degree of in . Then Proof: We get and likewise for . ]]>matematik/discrete-mathematics/bipartite-graphs.htmlMatematik/Discrete mathematics/Bipartite graphs.mdSun, 09 Mar 2025 15:42:56 GMT#matematik-discmath Definition: Directed graph A directed graph or digraph is a set whose members are called vertices, together with a set , whose members are called edges or arcs, and we write .
Note that formally, a directed graph is just a RelationRelation on : This means that results for relations can be applied to digraphs too. For example, a symmetric relation implies that , so all arcs in the graph can be thought of as double pointed.Definition: Directed walk, directed path A directed walk in a digraph is a sequence of vertices such that for every . A directed path is a directed walk where all vertices are distinct. A directed cycle is a directed walk where all vertices are distinct except that . Definition: Tournament A tournament is a digraph with exactly one arc between each pair of vertices. Theorem In any tournament there is a directed path containing all vertices. Proof: We show that any path not containing all vertices can be made longer. Take any path and suppose is a vertex not in the path. Then, if is an edge, we can prepend and we are done. Otherwise, is an edge. Then if is an edge, can be inserted between and . Otherwise, is an edge. Continue this process until either is inserted, or we reach , meaning is an edge, meaning can be appended to the end and we are done. ]]>matematik/discrete-mathematics/directed-graphs.htmlMatematik/Discrete mathematics/Directed graphs.mdSun, 09 Mar 2025 15:41:11 GMT#matematik-discmath Definition: Graph, vertex, edge A graph is a pair where is a finite set whose members are called vertices and is a set of -subsets of whose members are called edges. Definition: Adjacent, neighbour Two vertices and of a graph are adjacent or neighbours whenever . Definition: Isomorphic graphs Two graphs and are isomorphic if there exists a bijection such that for every . In this case, is called an isomorphism from to . Determining if two graphs are isomorphic is nontrivial, but two graphs can quickly be shown not to be isomorphic if for example they have a different number of vertices or edges.Definition: Degree of vertex Let be a graph and . Then and the degree of is , or in other words, the number of edges containing . So then of course, the multiset of degree counts of two isomorphic graphs must be the same, meaning this is another fast way of determining that two graphs are not isomorphic.Theorem Let be a graph. Then Proof: Each edge is counted twice; once for each vertex in the edge. In other words, Definition: Odd vertex, even vertex A vertex is odd if its degree is odd, or even if its degree is even. Given a graph we define This makes a partition of .Theorem: The number of odd vertices is even Let be a graph. Then is even. Proof: We know that both and are even, and we also know meaning must also be even. But it's a sum of odd numbers, meaning it must be a sum of an even number of odd numbers. Definition: Regular graph A graph in which all vertices have the same degree is said to be regular with degree . In the case of regular graphs, we thus see that .]]>matematik/discrete-mathematics/graphs.htmlMatematik/Discrete mathematics/Graphs.mdSun, 09 Mar 2025 14:46:13 GMT#matematik-discmath Definition: Finite set, infinite set A set is called finite if it is empty or for some . If is not finite it is called infinite. Theorem is infinite. Proof: We know is nonempty since . Now suppose is finite, so that . Then let . Then should be in , but we have for every , so , which is a contradiction. Theorem The set of all prime numbers is infinite. Proof: Suppose the set of all prime numbers is . Then let . Clearly is not a multiple of any since . This means is a prime not in , which is a contradiction. Theorem Let be a set and be a bijection. Then is infinite. Proof: If is finite, there is a bijection , so is a bijection between and , which is a contradiction. Definition: Countable set Let be a set. If there exists a bijection between and , we call countably infinite or just countable. ]]>matematik/discrete-mathematics/infinite-sets.htmlMatematik/Discrete mathematics/Infinite sets.mdMon, 03 Mar 2025 14:58:27 GMT#matematik-discmath Theorem: Chinese Remainder Theorem Let and . Then there are solutions to The solutions are unique up to congruence mod . Proof:
By TheoremTheorem we know there are such that . Then is a solution to the equation since we have Now suppose and are solutions to the equation. Then and , meaning and since we thus have meaning . ]]>matematik/discrete-mathematics/chinese-remainder-theorem.htmlMatematik/Discrete mathematics/Chinese Remainder Theorem.mdMon, 24 Feb 2025 09:35:10 GMT#matematik-groups Definition: Ideal Let be a ring. A subset is an ideal in if is an additive subgroup of , and for every and . If is an ideal of , we write . Example for any . for any . These are the trivial ideals. Note that if is a field, then these are the only ideals since every element can be reached from any element (except ) by multiplication. This also means has no non-trivial ideals. . These are all the ideals of ! Theorem Let be a commutative ring. Let . Then is the smallest ideal in containing . This is called the principal ideal generated by . Let . Then is the smallest ideal in containing . If , we say that is finitely generated. Theorem Let be a ring, . Then . . . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/ideals.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Ideals.mdMon, 24 Feb 2025 09:16:29 GMT#matematik-groups ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/power-series-and-polynomials.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Power series and Polynomials.mdMon, 24 Feb 2025 09:15:37 GMT#matematik-groups Definition: Ring homomorphism Let be rings. Then is a ring homomorphism if is a group homomorphism with respect to , meaning and is a monoid homomorphism with respect to , meaning Theorem Let be a ring homomorphism. . is a subring of . is a group homomorphism with respect to is a subring of . Corollary Let be a ring homomorphism, and a field. Then is injective. Proof: , so either or . But , so . Remark Let and be ring homomorphisms. Then is a ring homomorphism. Also, if is bijective, then is a ring homomorphism. Example Let be rings. The following are ring homomorphisms. The inclusion map . We can send formal polynomial to polynomial functions by . Note that in general, is not injective. For example, let . Then , but . For a fixed , . Theorem Let be a ring and . Then defines an equivalence relation on . The equivalence classes . The set of all equivalence classes is a ring with This is called a factor ring or quotient ring, or residue class ring. The canonical projection is a surjectve ring homomorphism with . Proof: Recall that is an abelian group. This means is a normal subgroup. This means is a factor group and that is a surjective group homomorphism, and . We still need to show that the multiplication is well defined. Let and . We know and . This means since every term has a factor in and . Hence, is also a monoid homomorphism with respect to . Theorem: Universal property of Let be a ring homomorphism and . Then there is a unique ring homomorphism such that . is injective . Proof: We already know that there is a unique group homomorphism with the same properties. Left to show is that is a ring homomorphism. Exercise! Corollary Let be a surjective ring homomorphism and . Then . Example Constructive way: Can also use the universal property. Theorem: First isomorphism theorem Let be a ring and a subring, and . Then . Theorem: Second isomorphism theorem Let be a ring and be ideals. Then . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/ring-homomorphisms-and-factor-rings.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Ring homomorphisms and Factor rings.mdThu, 20 Feb 2025 09:12:01 GMT#matematik-groups Corollary Let be a finite abelian group. Then has exactly one -Sylow subgroup, namely Proof:
Since all -Sylow subgroups are conjugate, and conjugations does nothing to an abelian group, there can only be one -Sylow subgroup, call it . Now we must show . : From Corollary (b)Corollary (b) we know that since is a -group, . : Firstly we show that is a subgroup. For any there are such that . WLOG, let . Then , meaning , so . Furthermore, we have , so , meaning is a subgroup. By Corollary (b)Corollary (b) we know is a -subgroup, meaning there must exist a -Sylow subgroup containing , and since is the only -Sylow subgroup, . Lemma Let be a finite abelian group and be subgroups of . The homomorphism is injective if and only if for every , . Proof: : We know , so being injective means that this is the only product that gives . If there would be some in and , then so would be obtainable by making and , and . : We want to show that . Assume . Then meaning , meaning . By induction, every . Theorem Let be a finite abelian group. Then is the direct product of its -Sylow subgroups. In other words, if Proof:
The map given by is a homomorphism since is abelian. We first use LemmaLemma to show that is injective. Assume where each . Then there are 's such that , meaning where are exponents we don't care about since they are multiplying anyway. Since we also know , we have that is a common factor of and , but these are all distinct primes, so meaning . Hence is injective. It follows from the sizes of -Sylow groups that the product of the sizes of is , meaning is also surjective. So is indeed an isomorphism between and . Furthermore, we can show that each of these subgroups are products of cyclic groups.Lemma Let be an abelian -group. Let be of maximal order. Then there exists a subgroup such that is an isomorphism. Proof: Since is a -group, . We induce on . If then , so the base case holds. Now take any . We know for some . Claim 1: For every , . Proof: We know for some , implying If we are done. Otherwise, we can find a such that . Pick such of minimal order. Claim 2: . Proof: Consider . Since is of minimal order, . This means for some . Now we get So . Also, since , and so meaning since we are in a -group. This means , so let . Define . We firstly observe that since , and secondly we see that . So we conclude that and by the minimality of we have . Now let . Since is of prime order, we know is cyclic. Furthermore, we know . To apply the induction hypothesis, we need to find an element of maximal order in . We can show that is such an element. By Cor. 1.3.13, for every where , . This means since if there is some in , then it generates all of , but . We now get that since , meaning . But the order is clearly at most , which is the next possible order, so , meaning indeed has maximal order. Now we can apply the induction hypothesis, meaning there exists a subgroup such that . Now notice that there is a one-to-one correspondence between each and each . this is true since we can use the canonical projection and map and . We now use this to get meaning and . Claim 3: . Proof: Let . We then get by the previous paragraph. This in turn means that . Finally, this means is injective, meaning Theorem: Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups Every finite abelian group is the direct product of cyclic groups of prime-power order. Proof: We have which by Theorem means . Furthermore we know where and has maximal order. This means and is a -group, . By induction we get . Example 1.5.10 a) abelian and . b) and abelian or . c) , non-abelian, could be , but also the quaternion group. The quaternion group has 8 elements with relations Exercise: show that this is a group! Subgroups: , , , , . We can show that these are all normal! Theorem: Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups Let be abelian such that there is a subset such that , where . Then where is a finite abelian group. Lemma Consider for some with factorization . Then there is a unique subgroup of order , namely . Proof: Clearly it's a subgroup of order . We know show uniqueness. Let . By Fermat, we know that for every meaning every element in is a multiple of , more concretely, . We also know so . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/finite-abelian-groups.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Finite abelian groups.mdWed, 12 Feb 2025 18:48:57 GMT#matematik-groups Definition: Group action Let be a group and any set. An action or operation of on is a map such that for every . for every and . Remark A group action can be seen as just a homomorphism from to . This is because for any , the map is a bijection since it has the inverse . So the map that takes to the map is a homomorphism from to . Definition: Stabilizer subgroup, orbit Let be a group, any set, and be a group action by on . The stabilizer subgroup or isotropy subgroup of in is The -orbit of is and the orbit space is Furthermore, we call the group action transitive if . Remark We can define an equivalence relation on by This makes the orbits of equivalence classes with respect to :Thus we see that is the disjoint union of its orbits. Corollary: The orbit equation Let be a group, any set and a group action by on . If is finite, Theorem: The orbit stabilizer theorem Let be a group, any set, and be a group action by on . Then the -map induces a bijection where is the stabilizer of . Furthermore, Proof: The map given by is clearly surjective. For any we see that This means that the map given by is well-defined, surjective and injective, so a bijection. Definition Let be a group, any set, and be a group action by on . Then Lemma: Burnside's lemma Let be a finite group, any set and . Then Proof: Let . We then have and meaning that The sizes of the left and right expression being the same then gives from which the statement follows directly. ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/group-actions.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Group actions.mdWed, 12 Feb 2025 09:32:05 GMT#matematik-discmath Definition: Latin rectangle A latin rectangle, where , is an array with rows and columns in which each of symbols occur such that each row contains every symbol once and no symbol occurs more than once in a column.
Theorem Any latin rectangle can be completed to form a Latin squareLatin square. Proof:
Call the symbols , the column and the rows . We can now create a Bipartite graphBipartite graph with vertices where all are connected to every . Now, if a column contains , we ColourColour that edge where is the row where appears in . Now, let be the set of uncoloured edges. The graph is now bipartite and regular with degree since each column contains distinct colours. By TheoremTheorem we know has an edge colouring with at most colours, call them . We can now extend the latin rectangle to a latin square where we put in where is the colour of . Theorem Let be a partial latin rectangle in which the symbols are used, and let be the number of times occurs in . Then can be completed to a latin square if and only if for every . Proof:
: We know should appear exactly times in the completed square. We also know it appears exactly times among the added rows, and times among the added columns, meaning it appears additional times, so we have : We construct a bipartite graph with vertices where denote the rows, and let be an edge if does not occur in row . We know each row contains distinct symbols, so for every . Now, since , and we know every occurence of is in a different row, we know has an edge to at most rows, so . This means that the maximum degree of our graph is , so by TheoremTheorem there exists an edge colouring with at most colours, call them . Finally, we extend the rectangle to an latin rectangle by putting in where is the colour of the edge . Now, by TheoremTheorem, this can be extended to an latin square. ]]>matematik/discrete-mathematics/latin-rectangles.htmlMatematik/Discrete mathematics/Latin rectangles.mdTue, 11 Feb 2025 10:38:28 GMT#matematik-discmath Definition: Edge colouring Let be a graph. An edge colouring of is a function such that for every pair of distinct edges such that and share a vertex.
Theorem If is a finite Bipartite graphBipartite graph, then the minimum number of colours needed for an edge colouring of is the maximum DegreeDegree of . Proof: Clearly an edge colouring is not possible with fewer colours than the maximum degree of , since all edges of the vertex with that degree must have distinct colors. Left to prove is that it is always possible to colour with that many colours. We induce on . If , then we clearly only need one colour. Now take a bipartite graph with edges and maximum degree . Take any edge and consider with . Clearly is also a bipartite graph, whose maximum degree is either or . By our induction hypothesis, we know this can be coloured with at most colours. Since we removed the edge , we know , meaning there is a colour in the graph, not used among the edges of , and a colour in the graph, not used among the edges of . If we can choose we can give this colour to and we are done. Otherwise, we show that we can modify the colouring of to do this. In this case, we hence know that has an edge with colour to a node . Instead, colour that edge , and if already had an edge with colour , colour that , and if the neighbour already had an edge with colour , colour that , and so on. Since is finite and bipartite, this process will stop, and we know it will not stop at since that would imply has an edge with colour . This now means no longer has an edge with colour , meaning we can colour with and we are done. ]]>matematik/discrete-mathematics/edge-colouring.htmlMatematik/Discrete mathematics/Edge colouring.mdTue, 11 Feb 2025 10:05:06 GMT#matematik-discmath
Definition: Vertex colouring, chromatic number A vertex colouring of a GraphGraph is a function such that for every adjacent pair of vertices . The chromatic number is the least integer for which there is a vertex colouring of using colours. Equivalently, a vertex colouring is a partition of the vertices such that no two vertices in the same partition are adjacent. A greedy way to find a vertex colouring is to color the first vertex with some color, then for each non-colored vertex, color it with an already used color if possible, otherwise a new color. Note that this algorithm does not garuantee a colouring with minimal colors.Theorem Let be a graph with maximum degree . Then .
Furthermore, if is connected and not RegularRegular, then . ]]>matematik/discrete-mathematics/graph-colouring.htmlMatematik/Discrete mathematics/Graph colouring.mdMon, 10 Feb 2025 18:31:26 GMT#matematik/linjär-algebra Ett inre produktrum är ett vanligt vektorrum över eller tillsammans med ett sätt att kombinera två vektorer och få ut ett tal från kroppen. Denna avbildning från två vektorer till ett tal kallar vi för den inre produkten, och vi sätter några speciella krav på den.Definition: Inre produkt En inre produkt på ett vektorrum med kroppen eller är en avbildning som uppfyller
LinjäritetLinjäritet i det andra argumentet: för alla och , Konjugatsymmetri: för alla , Positivt definit: och (alltså även ) för alla .
Vi märker att om kroppen är får vi att den inre produkten är BilinjärBilinjär och symmetrisk, samt att om kroppen är så är den inre produkten så kallat seskvilinjär, alltså att den är linjär i det högra argumentet och antilinjär i det vänstra.Vi märker att eftersom den inre produkten är seskvilinjär bestäms den givet någon bas av värdena för . Vi ordnar dessa tal i en matris som vi kallar för metriken av vår inre produkt.Definition: Metrik Om är ett inre produktrum med bas så är metriken med avseende på basen en konjugatsymmetrisk positivt definit matris som ges av Sats: Inre produkt från metrik Om är ett inre produktrum med bas och metrik med avseende på , och så är Bevis: Vi vet att och . Då är Vi måste alltså ha kravet på att metriken ska vara konjugatsymmetrisk och positivt definit för att den ska kunna representera en inre produkt. Men förutom de kraven märker vi att vi kan välja talen helt själva, vilket ger oss följande sats.Sats: Metriken definierar inre produkten Om är ett vektorrum och är en matris som är om , eller oändligt stor om är oändligdimensionellt, så definierar en inre produkt om och endast om är konjugatsymmetrisk och positivt definit. Bevis:
Låt vara en bas för . Vi visar först . Antag alltså att definierar en inre produkt. Då har vi att , samt att är positivt definit eftersom enligt SatsSats är positivt definit. Nu visar vi . För är alltså och . Om vi alltså sätter följer då enligt tidigare att , och det följer också att , vilket ger att den inre produkten är konjugatsymmetrisk. Slutligen vet vi att den inre produkten är positivt definit eftersom vi sa att är det. Vi visar även följande sats som är användbar i många bevis.Sats: för alla Om är ett inre produktrum och så är om och endast om för alla . Bevis: är uppenbar, så kvar är . Linjäriteten ger att för alla . Välj så får vi ]]>matematik/linjär-algebra/inre-produktrum.htmlMatematik/Linjär algebra/Inre produktrum.mdTue, 04 Feb 2025 16:32:33 GMT#matematik-discmath
Definition: Congruent, modulo Let and . We say that is congruent to modulo and write if is DivisibleDivisible by .
Note that congruence clearly is an Equivalence relationEquivalence relation since if and then .Theorem Let and such that and . Then and . Proof: We know and . This gives and Notation We let denote the equivalence class of with respect to congruence modulo . For example, . Also notice that since any can be expressed as for some , the unique equivalence classes are .Definition: Integers modulo is the set of distinct equivalence classes under the relation of congruence modulo in , so We also define the following operations:
From TheoremTheorem, it follows easily that these operations are well-defined. Of course, since we transfer the operations to integer operations, the properties of these integer operations, like associativity, commutativity and additive inverses, apply here too. However, for example the rule that if then , does not apply here: we only get that meaning , which of course does not necessarily imply that .Definition: Invertibility An element is invertible if there exists a such that . In this case, is called the multiplicative inverse or just inverse of . From the commutativity of multiplication we see immediately that is the inverse of , so for every invertible .Theorem is invertible if and only if and are coprime in . Proof: : We have for some , meaning . Any common divisor of and must divide , so .
: By Bézout's identityBézout's identity there are such that , meaning , so in equivalence class terms, so . We thus see that if is prime, then every element of except is invertible. Also, the number of invertible elements in is .Theorem If is invertible, then . Proof: We let , and see that is invariant under multiplication with elements in ; we define , and then see that for any , , so, , meaning for every . Let be the invertible elements of , where . Since is invertible and , we see that meaning since is invertible. Corollary: Euler's theorem, Fermat's little theorem From the previous theorem it immediately follows that if , then , which is Euler's theorem. It also follows that if is prime, then , which is Fermat's little theorem. ]]>matematik/discrete-mathematics/congruence.htmlMatematik/Discrete mathematics/Congruence.mdTue, 04 Feb 2025 16:24:46 GMT#matematik-discmath
Definition: Tree A graph is a tree if it is ConnectedConnected, and there are no CyclesCycles in . Theorem Let be a tree with at least two vertices. Then For every pair of vertices there is a unique path in from to . The graph obtained from by removing any edge has two components, each of which is a tree. . Proof: Take any . Since is connected, there exists a path from to . Now suppose is a different path from to . Then since and there exists such that for every but and , meaning is a cycle, contradicting that is a tree. Hence the path is unique. Removing any edge creates two components: each of which consisting of the nodes whose paths to each other did not contain the removed edge. Clearly these are connected and no cycles can be introduced, so they are both trees. Follows from (b); we induce on the number of edges. The base case is trivial. Now given , remove any edge, resulting in components and , each having strictly less vertices than . By our induction hypothesis, and , meaning ]]>matematik/discrete-mathematics/trees.htmlMatematik/Discrete mathematics/Trees.mdTue, 04 Feb 2025 16:18:57 GMT#matematik-discmath Definition: Walk, path A walk in a graph is a sequence of vertices such that and are adjacent for every . A walk where the vertices are distinct is called a path. We notice that we can define a relation on which describes if there exists a path between two vertices. This clearly is an equivalence relation, since if you can get from to and from to , then you can get from to .Definition: Components, connected graph Let be a graph and be the equivalence relation where there exists a path from to . Let be the partition of with respect to , and let for every . The graphs are called the components of , and if , is called connected. Definition: Cycle A walk is called a cycle if is a path and . ]]>matematik/discrete-mathematics/paths-and-cycles.htmlMatematik/Discrete mathematics/Paths and cycles.mdTue, 04 Feb 2025 15:30:54 GMT#matematik-discmath Definition: Latin square A latin square of order is an array in which each of symbols occur once in each row and once in each column. Typically, the symbol in row column is denoted . Theorem Let . The array defined by where is a latin square. Proof: Given any row and symbol we can let and then get that , and we know that for some , so the symbol will be in cell . Same goes for any column, so it is indeed a latin square. Definition: Orthogonal latin squares Two latin squares of the same order are orthogonal if for every ordered pair of symbols there is exactly one position such that and . Theorem Let be prime and be nonzero. Then where defines a latin square. Furthermore, if is nonzero and , then and are orthogonal. Proof:
Since is InvertibleInvertible, it follows from the proof of TheoremTheorem that is a latin square. Furthermore, given a pair we have the system of equations where we used that meaning and , meaning both of these are invertible. ]]>matematik/discrete-mathematics/latin-squares.htmlMatematik/Discrete mathematics/Latin squares.mdTue, 04 Feb 2025 10:06:10 GMT#matematik-groups
Definition: Greatest common divisor Let . The greatest common divisor of and is where and are the DivisorsDivisors of and , respectively. Theorem Let . If there are such that , then Proof: Let . We then have since , hence . Theorem: Bézout's identity Let , and . Then there exists integers such that Proof: By repeating the theorem above, we get since it must end somewhere since the 's are strictly decreasing. This means that . Thus we have that and we can keep doing this until we get the form which means ]]>matematik/discrete-mathematics/greatest-common-divisor.htmlMatematik/Discrete mathematics/Greatest common divisor.mdTue, 04 Feb 2025 09:14:50 GMT#matematik-discmath Definition: Permutation A permutation of a non-empty finite set is a bijection .
We notice that by TheoremTheorem, it follows that the number of permutations of a set of size is .Notation For every we let Theorem If , then . If , then . If there is an such that . Proof: Follows directly from the properties of bijections. Definition: Cycle A cycle is a permutation of given by where . Notice that the starting number when denoting a cycle does not matter. Also note that every permutation can be written as the composition of cycles, such as ]]>matematik/discrete-mathematics/permutations.htmlMatematik/Discrete mathematics/Permutations.mdFri, 31 Jan 2025 12:03:52 GMT#matematik-discmath Definition Given an integer , a partition of into parts is a sum where all , and we write a partition as (where is omitted if ) where is the number of 's among . ]]>matematik/discrete-mathematics/partitions-of-integers.htmlMatematik/Discrete mathematics/Partitions of integers.mdFri, 31 Jan 2025 12:00:41 GMT#matematik-discmath Definition: Multinomial numbers Let and . Also, let . Then the number of surjections such that where for every is denoted and is called a multinomial number.
In this way, multinomial numbers are generalizations of Binomial numbersBinomial numbers. In possibly easier terms, it is the number of ways to choose a sequence of sets where such that is the disjoint union of all 's.Theorem: Formula for multinomial numbers Given and nonnegative integers such that , Proof: Each possible sequence of sets can be done by choosing a permutation of all elements of and then letting contain the first elements, contain the following elements, and so on. There are ways of doing this, but each possible partition is then counted times since that's the number of ways to order the elements and still preserving the sets . Theorem: Multinomial theorem For any and , where the sum is over all possible such that . Proof: We consider a multiset of copies of , and we are thus interested in the product of these elements, and we see that every term in the result is of the form where , and that the coefficient for that term is the number of ways to choose exactly one term from from each factor such that in total, the number of chosen is precisely , which we see corresponds to the definition of the multinomial number. ]]>matematik/discrete-mathematics/multinomial-numbers.htmlMatematik/Discrete mathematics/Multinomial numbers.mdFri, 31 Jan 2025 11:42:20 GMT#matematik-discmath Definition: Index set Let be a set, . Suppose for every we have a set . Then is called the index set for the family of sets . Definition: Partition A partition of a set is a family of nonempty sets such that is the disjoint union of all sets in . Each is called a part of the partition. Definition: Stirling numbers We define the Stirling numbers as the number of partitions of an -set into parts (where ). Theorem: Formula for Stirling numbers , and for every where , Proof: Let . When , the only possible partition is , and when , the only possible partition is , since sets in the partition must be nonempty. Finally, when , we have two cases for a partition: is in its own set, or is not in its own set. If is in its own set, the remaining elements must be partitioned into sets, which there are ways of doing. If is not in its own set, it must belong to a set in a -partition of the remaining items, which there are ways of doing, and since for each such way there are sets to which can belong, we multiply this by and arive at the formula.
Theorem: Equivalence classes form a partition Let be an Equivalence relationEquivalence relation on a set . Then the equivalence classes with respect to form a partition of . Proof:
Follows directly from TheoremTheorem. For any partition of , we can define a function by . We see that is surjective and well defined, by the definition of a partition. On the other hand, for any surjective map we can for every define which makes a partition of .Theorem Let be the set of surjections from an -set to a -set . Then Proof: A surjection from to is uniquely determined by the sets for every . These are partitions, and there are to create such partitions, and since each partition corresponds to exactly one element in , there are surjections for each such partition of .
If we also restrict the size of each , we get the Multinomial numbersMultinomial numbers.]]>matematik/discrete-mathematics/partitions.htmlMatematik/Discrete mathematics/Partitions.mdFri, 31 Jan 2025 11:41:42 GMT#matematik-discmath Definition: Relation Let be a set. A relation on is a subset of . If is a relation on , we define the statement for every . For example, , and are relations on .Definition: Equivalence relation Let be a relation on a set . We define the following properties of : Reflexivity: for every Symmetry: for every Transitivity: for every If is reflexive, symmetric, and transitive, we call it an equivalence relation. Definition: Equivalence class Let be an equivalence relation on a set , and let . Then is called an equivalence class with respect to if for every and for every . denotes the equivalence class of , and contains every such that . Theorem Let be an equivalence relation on a set . Then every element is contained in one and only one equivalence class of with respect to , namely . Proof: Suppose is an equivalence class of with respect to such that . Then we have , so . ]]>matematik/discrete-mathematics/relations.htmlMatematik/Discrete mathematics/Relations.mdFri, 31 Jan 2025 09:39:45 GMT#matematik-discmath Definition: Möbius function The Möbius function is Theorem Let such that . Then Proof: Let the prime factorization of be . Every nonzero contribution to the sum above comes from divisors of with non-repeated prime factors, so the product of a subset of . So our sum is Theorem: Möbius inversion formula Let be functions of and let Then Proof: We have where we see that the inner sum is zero unless , so we do indeed have that this equals . ]]>matematik/discrete-mathematics/möbius-function.htmlMatematik/Discrete mathematics/Möbius function.mdWed, 29 Jan 2025 15:05:18 GMT#matematik-discmath Definition: Euler's function Euler's function is given by We see immediately that if is prime.Theorem For any , Proof: Let . From the definition of we then have Our goal now is to show that , so we construct a bijection . We define for every , which is well-defined since , and since , we also have . We now show injectivity. If we have and since and are coprime we have and , so is injective. Finally we show surjectivity. Let , and let . Then let and . and must then be coprime, by the maximality of . We also have since , so , and we have so is also surjective, hence a surjection. Theorem Let such that and whose prime factorization is Then Proof: Let . Then we have . A general intersection of these is , which thus contains multiples of , which there are of. So we have which can be verified is equal to the statement by carrying out the multiplications. ]]>matematik/discrete-mathematics/euler's-function.htmlMatematik/Discrete mathematics/Euler's function.mdWed, 29 Jan 2025 14:44:45 GMT#matematik-discmath Theorem If are finite sets, then where each is the sum of the sizes of the intersections of each subset of sets from . Proof:
Given an we want to show that contributes exactly to the sum. Suppose lies in exactly of the sets. Then contributes exactly to since that's the number of subsets of where each set contains (the intersection contains ). So to the total sum, contributes From the Binomial theoremBinomial theorem, this is simply except it's missing the term , so contributes exactly to the total sum. ]]>matematik/discrete-mathematics/the-sieve-principle.htmlMatematik/Discrete mathematics/The Sieve principle.mdWed, 29 Jan 2025 14:09:45 GMT#matematik-discmath Definition: We define . Definition: Size of set Let be a set. If there exists a bijection between and , we say that has size or cardinality , and write . Theorem Let . If there exists an injection from to , then . Proof:
We use InductionInduction on . If the result is clear. Now suppose is an injection. Firstly, we know , so for some . We can then define an injection : If for every , then let for every . If for some , let (we know because is injective), and let for every . Then, from our induction hypothesis, we get that , so . Remark The contrapositive of the theorem above is called the pidgeonhole principle and says that if then there does not exist a injection from to . Theorem: Size is unique Let be a set with size and . Then . Proof: There exists bijections and . This means and are injections from to and to , respectively, meaning and , so . Theorem Let be finite, nonempty, disjoint sets. Then Proof: We have , and since we have meaning . Corollary Let be finite, nonempty, disjoint sets. Then ]]>matematik/discrete-mathematics/counting.htmlMatematik/Discrete mathematics/Counting.mdTue, 28 Jan 2025 10:20:21 GMT#matematik-discmathDefinition: Set A set is an unordered collection of objects. We can construct in different ways, such as by a list: or by a property: If is an element of a set we write . Notation In this course we use the notation . Definition: Subset If are sets such that every element of is in , we call a subset of and write . If also , we call a proper subset of and write . Remark The expression in this course refers to . Definition: Intersection, union For any two sets the intersection of and is and the union of and is Definition: Cartesian product For any two sets We define the Cartesian product ]]>matematik/discrete-mathematics/sets.htmlMatematik/Discrete mathematics/Sets.mdTue, 28 Jan 2025 10:08:33 GMT#matematik-discmath We don't have division yet, but know what we are aiming for; we know that once we have division, we can represent a rational number as for some (where ). This representation, however, is not unique; more specifically we have . We have defined multiplication, so we can make equivalence classes from this!Definition: Construction of the rational numbers Let and define an equivalence relation so that . We then define the rational numbers as the set of equivalence classes of with respect to , and denote with respect to . We also define for any , so . We define addition as and multiplication as Finally, we define for every positive . We now show that these definitions of operations on rational numbers are well-defined and sufficient. If and we get We want to show that , which is equivalent to which we know from the previous equalities. Hence, addition is well-defined. If and we get and , so multiplication is also well-defined.Now, for addition we get so addition is sufficiently defined. For multiplication, we first note that meaning This means that in general we get so multiplication is also sufficiently defined.We also see that Theorem: Density of rational numbers Let where . Then there exists a such that . Proof: Let . Then we have and . Theorem A decimal number terminates or repeats it corresponds to a rational number. Definition: Irrational number, real number A decimal number that does not terminate or repeat we say correspond to an irrational number. Any number that is rational or irrational we call real, and we let the set of all real numbers be informally defined as When we introduced we added subtraction, when we introduced we added division, and when we have we have added for example roots.We will now consider sequences of numbers. Let , and consider a sequence of numbers in .Definition: Strictly increasing, strictly decreasing A sequence of numbers is said to be strictly increasing if for every , or strictly decreasing if for every . We see that if , there are no strictly decreasing infinite sequences, since it must reach and then can't continue. But if , there are of course strictly decreasing infinite sequences, such as Definition: Greatest lower bound For a set of numbers , is a greatest lower bound if it is a lower bound of and for every lower bound . We see that for example the sequence of rational numbers is strictly decreasing yet still has a greatest lowest bound in , namely . However, we can construct a strictly decreasing sequence of rational numbers, that has a lower bound but not a greatest lower bound in . For example, the recursive sequence is strictly decreasing but approaches . So for any rational lower bound, we can always find a greater rational lower bound. With real numbers, the problem is solved.Theorem A bounded, strictly decreasing sequence of real numbers has a greatest lower bound in .
Theorem The set of rational numbers is CountableCountable. Theorem The set of real numbers is uncountable. Proof: It is enough to prove that the set is uncountable (the set of all nonnegative real numbers with integer part ). Suppose this set is countable. Then we have a map from to , so . We can then create a real number with integer part and with decimal being any decimal different from decimal of , for every . is thus different from every , but , which is a contradiction. Lemma For any such that , there exists an such that . Proof: Let . We know and that is a lower bound of , meaning has a minimal element (so but ). This means and , so . Theorem If such that , there exists an such that . Proof:
Let . Then there exists an such that . This means that which by LemmaLemma means there exists an so that . This means . Theorem: Archimedean property If where , there exists an such that . Proof: The set does not have an upper bound. ]]>matematik/discrete-mathematics/rational-numbers.htmlMatematik/Discrete mathematics/Rational numbers.mdFri, 24 Jan 2025 13:52:39 GMT#matematik-discmath Definition: Coprime Let . If , are called coprime.
From Bézout's identityBézout's identity we thus have that for any coprime numbers there are such that .Theorem Let . If and are coprime and , then . Proof: We know there are such that . Multiply by and we get Since , divides the left hand side, so it also divides . Definition: Prime number A number is prime if and are the divisors of . If a number is not prime, it is called composite. Theorem Let be prime and such that . Then for some . Proof:
We induct on . If the theorem is clear. Now suppose the theorem is true for some , and take numbers such that . If we are done. Otherwise, since is prime, so by TheoremTheorem, which by our induction hypothesis means divides one of . Theorem: Fundamental Theorem of Arithmetic Let where . Then can be written uniquely (up to permutation) as a product of prime numbers. Proof:
We use induction. We know the theorem is true for . Now suppose the theorem is true for every . If is prime, the theorem is also true for . Otherwise, by definition where and . It follows that , so both and can be written as products of prime numbers by our induction hypothesis. Since , we have proven the existence of a prime factorization for every . Now suppose there are numbers with non-unique prime factorizations. Let be the least such integer. Then for primes and . We know , which by TheoremTheorem means divides some , WLOG, let it be . Since they are both prime, we know . Thus , which contradicts the minimality of . ]]>matematik/discrete-mathematics/prime-numbers.htmlMatematik/Discrete mathematics/Prime numbers.mdFri, 24 Jan 2025 10:30:12 GMT#matematik-discmath Theorem Let and where . Then for some unique and such that . Proof: We repeatedly divide by and let the remainders be our 's. Specifically, we have where . We know that such an exists since the 's get strictly smaller every step, since . This gives and we know each satisfies . Every is also unique, so too is unique. ]]>matematik/discrete-mathematics/representations-of-integers.htmlMatematik/Discrete mathematics/Representations of integers.mdThu, 23 Jan 2025 15:16:37 GMT#matematik-discmath Definition: Multiple of , divisibility is a multiple of , denoted , if there exists a such that . If is a multiple of , we say that is a divisor or factor of , and we say that divides or that is divisible by . Notation We let . Theorem Let . Then there exists unique such that where . Proof: Let . We notice that if we get , so . Thus has a least element with corresponding such that . We have so if then , so . But clearly , so then is not a least element of which is a contradiction. Hence . Since the least element is unique, both and are unique. Terminology For any , if where and , is called the quotient and the remainder. ]]>matematik/discrete-mathematics/divisibility.htmlMatematik/Discrete mathematics/Divisibility.mdThu, 23 Jan 2025 15:14:37 GMT#matematik-discmath
We don't have subtraction yet, but know what we are aiming for; we know that once we have subtraction we can represent any integer as where . However, there are many ways express the same integer this way, so it makes sense to group together all possible ways to express the same integer into Equivalence classesEquivalence classes. We know that , which is a relation solely on natural numbers! We also see that the relation is reflexive, , symmetric, , and transitive, so it is indeed an equivalence relation, meaning equivalence classes make sense.Definition: Construction of the integers Let , and define an equivalence relation on by The set of integers is the set of equivalence classes of with respect to . We define addition and multiplication on integers as follows: We also define and for every . For every we denote with . Theorem and for every . Proof: We have , so for every . We also have , so for every . Theorem If for some where , then . Proof: We have . Since , we have either or for some . If , then meaning giving . The proof is analogous for if . Definition: Less than, greater than Let . We say that is less than , denoted , if where and . If is less than we say that is less than and write . Theorem If such that and such that , then . Proof: We have where . This means We thus want to show that which is true because we know and . Definition: Lower bound, upper bound For a subset , an integer is a lower bound if for every , and an integer is an upper bound if for every . Notice that since and do not need to be in , they are not unique.Theorem If a nonempty set has a lower bound, it has a least element. Proof: Let be a lower bound for , and let Thus for every we have , so meaning has a least element . We can then simply let to get , and we then have that for every , so , so is a least element of . ]]>matematik/discrete-mathematics/integers.htmlMatematik/Discrete mathematics/Integers.mdThu, 23 Jan 2025 14:23:41 GMT#matematik-discmath Axiom: Principle of induction Let be a statement for every . If and if for every , then for every . Terminology In an inductive proof, we call the induction basis, the induction hypothesis and the induction step. Note that for an inductive proof to work, there only needs to exist a bijective map between the sequence of statements and the natural numbers. For example, if we want to prove that is true for every , then we can of course use induction here too. To use the principle of induction, we would for example let , but this is not a step one would actually take in a proof.Theorem Every number can be written as for some number of ones, that we call . Proof: We use induction. The statement is obviously true for . Now, if can be written as , then can be written as the sum of one more , so the statement is also true for . Hence, it is true for every . ]]>matematik/discrete-mathematics/induction.htmlMatematik/Discrete mathematics/Induction.mdWed, 22 Jan 2025 15:27:45 GMT#matematik-discmath Definition: Least and greatest member Let . An element is called a least member if for every , and an element is called a greatest member if for every . Theorem Every nonempty subset of has a least member. Proof:
Since is nonempty, by TheoremTheorem, we can sum until we reach a number in , which must be a least member of . ]]>matematik/discrete-mathematics/minimality-and-maximality.htmlMatematik/Discrete mathematics/Minimality and maximality.mdWed, 22 Jan 2025 14:02:45 GMT#matematik-discmath Definition: Statement A statement is a declarative sentence that is either true, denoted by or false, denoted by . Definition: Logical operations For any statements , we define the following statements: pronounced "not " is if , otherwise . pronounced " and " is if both and , otherwise . pronounced " or " is if either or , otherwise . pronounced " implies " is if and not , otherwise . pronounced " if and only if " is if either both and , or neither nor , otherwise . If , we call and logically equivalent. The definition of deserves a small discussion. This definition feels weird since we are not used to " implies " being a logical statement in the same sense as " and ", but of course, it is either true or false, so it is a logical statement. What we need to keep in mind is that we are often not interested in knowing if , but rather in proving . So we often know that the statement is true, without knowing whether or are true. Then if we succeed in proving , we also know .Remark We can define Theorem: Contrapositive For any two statements , Proof: We have So proving that can be done by proving that , which is often useful. The statement is called the contrapositive of the statement , and the theorem above thus shows that these are logically equivalent.]]>matematik/discrete-mathematics/the-logical-framework.htmlMatematik/Discrete mathematics/The logical framework.mdWed, 22 Jan 2025 13:37:16 GMT#matematik-groups Definition: Normal subgroup Let be a group and be a subgroup. Then is a normal subgroup if for every , , i.e. for every , , and we write Remark Let be a group and be a subgroup. Then the following are equivalent: For every , For every , For every , Proof: (i)(iv): Clear since . (i)(ii): Clear since . (iii)(iv): We have meaning and . Since the same applies for , we are done. (ii)(iii): Since every is bijective, we have (ii) for every , for every , for every , since is a group. Theorem: Kernels are normal subgroups Let be a homomorphism. Then . Proof: For every and every we have so . Remark For any group , the trivial subgroup is normal. If is abelian, then every subgroup is normal since . Theorem Let be a group and . Then for every . is a group with respect to the multiplication in a), with unit element . The canonical projection defined by for every , is a surjective group homomorphism with . Proof: a) Since is normal, we have and , so b) For any we have , so inverses exist. c) It is surjective by definition. It is a homomorphism since . Finally, we have since if then . From this we see that there is a strong correlation between kernels and normal subgroups; every kernel is a normal subgroup and every normal subgroup is the kernel of some homomorphism.Theorem: Universal property of quotient groups Let be a group homomorphism and such that . Then there is a unique group homomorphism such that . Moreover, is injective if and only if . Proof: Define by . This is well-defined since if then , so . This also shows uniqueness of , since it must satisfy . a) Clear by definition of . b) . c) Follows from b). d) We know is injective iff , iff . Corollary If is a surjective group homomorphism, then is canonically isomorphic to . Theorem: First isomorphism theorem Let be a group, , and . Then: The canonical homomorphism is an isomorphism. Proof: c) Clear because . b) Since is normal we have which implies so is closed under composition, and we also have , so , so is closed under inverses, meaning . a) We construct a homomorphism by which is surjective and . d) From the universal property we get a bijection . Theorem: Second isomorphism theorem Let be a group, and such that . Then The canonical homomorphism is an isomorphism. Proof: a) Clear since . b) We define as . This is well defined since if then so . is also surjective, and so . c) From the universal property we get a bijection . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/normal-subgroups.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Normal subgroups.mdWed, 22 Jan 2025 09:13:48 GMT#matematik-groupsDefinition: Direct product Let be a family of groups. We define the direct product of these groups as the group given by the set where denotes a disjoint union, meaning we preserve the information about which group each element comes from. The operation of the direct product is defined componentwise as for all . We want to preserve the information about which group each element comes from because we want to, given two elements, know which operation should be used on them. This definition allows for index sets of any size and cardinality. If the family of groups is of finite size we can see each element of the product as an -tuple, and if the index set is countably infinite we can see each element of the product as an infinite tuple, just like with regular set products.Notation If each group in a family is the same, so that for all , we denote the product as . If we denote the product as . ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/direct-groups.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Direct groups.mdTue, 21 Jan 2025 17:30:57 GMT#matematik-groupsDefinition: Properties Let be a set together with a map . Associativity: for all Unit element: There exists such that for all Inverse elements: For all there exists such that Commutativity: for all Definition Let be a set together with a map . Then is called a... Semigroup if it is associative Monoid if it is associative and has a unit element Group if it is associative, has a unit element, and has inverse elements Abelian group if it is a commutative group Notation As associativity holds, we can simply write without parentheses. We also commonly define for all , and if a unit element exists. Finally, we often write as . Theorem: Basic properties of groups Let be a group. Then the following holds: The unit element is unique. The inverse of any is unique (denoted by ). for all . If or , then . Proof: If and are unit elements, then by the properties of unit elements. If and are inverses of , then . We know , so is the inverse of . If , then , and analogous if . Theorem: Left/right unit & inverse is sufficient Let be a set with a map that satisfies is associative has a left unit such that for all . has left inverses; for all there exists a such that . Then, is a group. Proof: We first show that if is the left inverse of , it is also the right inverse of . We have , where the last step follows by applying the left inverse of on both sides. Hence, inverses exist. We also get , so is indeed also a left unit. Examples is an abelian group. If is a field, is an abelian group. If is a field and is a vector space over , is an abelian group. If is a field, is an abelian group. and are abelian groups. , , and are commutative monoids, but not groups. ]]>matematik/groups-and-rings/lecture-notes/groups.htmlMatematik/Groups and rings/Lecture notes/Groups.mdThu, 16 Jan 2025 13:16:43 GMT#matematik/linjär-algebra
Inre produktrumInre produktrum ger oss ett sätt att definiera vad som menas med att två vektorer är ortogonala, alltså vinkelräta mot varandra.Definition: Ortogonalitet Om där är ett inre produktrum och så kallar vi och ortogonala mot varandra och skriver . Vi kallar en mängd vektorer ortogonal om vektorerna är parvis ortogonala. Definition: Ortogonal och ortonormal bas En ortogonal bas till ett inre produktrum är en bas som är ortogonal. Om även för alla så kallas basen ortonormal. En mycket användbar egenskap hos ortonormala baser är att vi enkelt kan få fram koordinatvektorer.Sats: Koordinatvektorer från ortonormal bas Om har en ortonormal bas och så är Bevis: Vi vet att det finns tal s.a. samt . Detta ger att eftersom är om och annars ( är ortonormal). Vi kan använda detta för projektioner.Definition: Projektion Om är en idempotent linjär avbildning, alltså om , så kallas för en projektion på delrummet . Idempotensen är geometriskt intuitiv eftersom projektion av en vektor borde ta vektorn till ett visst delrum på vilket projektionen inte gör något.Definition: Ortogonala delrum Om och är delrum till ett inre produktrum och och är ortogonala för alla och så kallas och för ortogonala och vi skriver . Definition: Ortogonalt komplement Om är ett delrum av ett inre produktrum så är det ortogonala komplementet ett delrum som ges av Definition: Ortogonal projektion Om är en projektion och så kallas för en ortogonal projektion på delrummet . Sats: Ortogonal projektion finns Låt vara ett delrum till . Då är om och endast om det finns en ortogonal projektion på . Då är den ortogonala projektionen på även unikt bestämd av att är identiteten på och noll på . Bevis: Om så kan vi definiera till att vara identiteten på och noll på , och då är en ortogonal projektion på . Om istället det finns en ortogonal projektion på så är för alla och vi vet att medan alltså är , och vi vet att . Eftersom är därmed . Till slut visar vi att är unik. Tag ett . Då är , vilket ger att eftersom . Men vi vet att , alltså är . Därmed måste den ortogonala projektionen vara identiteten på och på , och är då unikt bestämd eftersom .
Sats: Ortogonal projektion Självadjungerad projektion En projektion är en ortogonal projektion om och endast om den är SjälvadjungeradSjälvadjungerad. Bevis: Vi visar först . Antag alltså att är en ortogonal projektion. För alla så är . För alla är därmed och på samma sätt är eftersom den inre produkten respekterar addition även i första argumentet, alltså är , så är självadjungerad. Nu visar vi . Antag alltså att är självadjungerad. Vi får då att för alla så är för alla , alltså är . Sats: Projektion med ändlig ortonormal bas Om är ett inre produktrum och är ett delrum med ändlig ortonormal bas så ges den ortogonala projektionen på av för alla . Bevis:
Om så är enligt SatsSats, alltså är och , så är en projektion på . Vi har även att om så är för alla eftersom alla är linjärt oberoende. För alla finns då tal s.a. vilket ger att alltså är , så är en ortogonal projektion. ^a63929 Från detta följer alltså att den ortogonala projektionen på alltid finns om är ändligdimensionellt. Tillsammans med tidigare sats följer även att om är ändligdimensionellt.Sats: Uppräknelig bas ger ortogonal bas Om är ett inre produktrum och har en uppräknlig bas så finns en ortogonal bas till . Bevis: Vi kan använda Gram-Schmidt för att göra om den uppräkneliga basen till en ortogonal bas. Alltså, antag att är en bas till . Vi kallar vektorerna i vår ortogonala bas för . För alla låter vi och vara projektionen på . Välj först och definiera sedan för alla Vårt induktionsantangande är att är en ortogonal bas till . Vi vet att , alltså är , vilket ger att spänner upp och måste vara linjärt oberoende eftersom dimensionen ökade när vi lade till . Slutligen är , alltså är , alltså är , så för alla , så är per induktion en ortonormal bas för för alla . Vi vet att spänner upp eftersom alla kan skrivas som en linjärkombination av ett ändligt antal basvektorer med något största index , och då är , alltså spänns upp av , så spänner upp . Vi vet även att mängden är linjärt oberoende eftersom, på samma sätt, alla linjärkombinationer av basvektorer i har ett ändligt antal termer med något största index , och vi har tidigare visat att är linjärt oberoende. Vi har även visat att för alla så är , så är en ortogonal bas till . ]]>matematik/linjär-algebra/ortogonalitet-och-projektioner.htmlMatematik/Linjär algebra/Ortogonalitet och projektioner.mdSat, 11 Jan 2025 17:48:07 GMT#matematik/linjär-algebra
Ofta i linjär algebra stöter vi på avbildningar som inte är linjära, utan MultilinjäraMultilinjära, d.v.s linjära i varje argument. För att notationen inte ska bli alltför överflödig betraktar vi en bilinjär avbildning . Ibland vore det bra om vi kunde "göra om" denna bilinjära avbildning till en linjär avbildning, eftersom det ändå är linjära avbildningar vi studerar i linjär algebra.
Vår strategi blir att införa ett nytt vektorrum som vi kallar , som vi vill använda som "mellanhand" mellan och . När vi genom en bilinjär avbildning går från till vill vi alltså istället gå från till , och sedan från till . Vi säger att avbildningen från till kallas och är bilinjär, och att avbildningen från till kallas och är LinjärLinjär.Men då känns det ju faktiskt som att vi inte kommit någonstans alls; vi har bara delat upp vår bilinjära avbildning i en bilinjär och en linjär ! Men det speciella är att genom att välja vektorrummet och den bilinjära avbildningen på rätt sätt, kan vi se till att och fungerar som mellanhand för alla ! I den meningen har vi alltså överfört en bilinjär avbildning på en linjär, eftersom det enda som beror av den bilinjära avbildningen är den linjära avbildningen . Vi lägger även till kravet att ska vara unik givet , så att varje bilinjära avbildning överförs på en unik linjär avbildning. Vi kallar vektorrummet tillsammans med den bilinjära avbildningen för en tensorprodukt av och .Anmärkning Begreppet tensorprodukt används ganska slarvigt, men refererar alltså i sin tydligaste mening till vektorrummet tillsammans med den bilinjära avbildningen . Notera här att symbolen i inte är den bilinjära avbildningen , utan betraktas bäst bara som en symbol för ett vektorrum. För att vara tydlig kan vi alltså skriva en tensorprodukt av och som . Begreppet refererar dock ofta till endast vektorrummet , eller till en vektor i . Men hur väljer vi då och "på rätt sätt"? Det är inte uppenbart, men vi behöver inte ge en entydig definition av vad vektorrummet och den bilinjära avbildningen är, utan vi kan nöja oss med att ge en rad krav för att ett visst vektorrum och bilinjär avbildning utgör en tensorprodukt av och .Definition: Tensorprodukt Tensorprodukten av två vektorrum och är ett vektorrum tillsammans med en bilinjär avbildning , så att det för alla vektorrum och alla bilinjära avbildningar finns en unik linjär avbildning sådan att , det vill sägaför alla och . Denna definition kallas för den universella egenskapen för tensorprodukten, och är ett av flera sätt att definiera tensorprodukten. Vi säger alltså inte explicit vad och är för något, utan endast att det är ett vektorrum och bilinjär avbildning som uppfyller vissa krav.Ett skäl till att vi lägger till kravet att ska vara unik är för att se till att är precis så stort det behöver vara för sitt syfte, nämligen att överföra bilinjära avbildningar på linjära. Vi kan förtydliga detta med en sats.Sats: spänner upp . Om och är vektorrum och är en tensorprodukt av och så är Bevis: Antag att och att . Då kan vi välja ett vektorrum med fler än en vektor, samt en bilinjär avbildning . Eftersom är en tensorprodukt finns då ett unikt linjärt så att för alla , men eftersom så sätter detta inte ett krav på . Vi kan alltså genom avbilda på godtycklig vektor i , så då är inte unikt bestämd, vilket motsäger definitionen. Men för att gå tillbaka till definitionen finns ju alltså flera möjliga vektorrum som vi får kalla . Det kanske känns förvirrande, men just att definitionen är en universell egenskap är viktigt. Den säger nämligen att alla möjliga vektorrum som uppfyller definitionen är isomorfa med unik isomorfi. Det betyder att det givet två möjliga sådana vektorrum finns ett unikt sätt att para ihop alla vektorer i vektorrummen med varandra, alltså kan vi se alla dessa möjliga tensorprodukter av och som samma, bara att vi har bytt namn på varje vektor. Vi sammanfattar detta i en sats.Sats: Tensorprodukten är unik upp till unik isomorfi Om samt är möjliga tensorprodukter av och så finns en unik isomorfi mellan och . Bevis: Enligt definitionen finns unika linjära avbildningar och sådana att vilket ger attoch då måste och vara identiteterna på respektive . Eftersom de är linjära och och enligt tidigare spänner upp respektive måste de även vara identiteterna på respektive , alltså är en isomorfi mellan och . Eftersom de är unikt bestämda måste även isomorfin vara unikt bestämd. Detta visar alltså att vår ursprungliga definition faktiskt är en universell egenskap, och säger att alla möjliga tensorprodukter mellan och kan ses som samma eftersom skillnaden helt enkelt kan ses som ett namnbyte av varje vektor.Men vi har ju dock aldrig visat att tensorprodukter finns; vi kanske gav en definition som är omöjlig att uppfylla. Som tur är ska det visa sig att så inte är fallet. Vi börjar med att titta på vad som händer när vi inför baser till och .Sats: Tensorprodukt med baser Låt och vara baser för respektive . Låt även vara ett vektorrum och vara en bilinjär avbildning. Då är en tensorprodukt av och om och endast om är en bas för . Bevis: Vi börjar med att visa . Antag alltså att är en tensorprodukt av och . Givet och finns tal så att och . Det ger att alltså spänner upp vilket spänner upp . För att visa linjärt oberoende utnyttjar vi att, som vi precis sett, en bilinjär avbildning bestäms unikt av alla . Vi kan därmed välja och så att alla är linjärt oberoende, vilket ger att den motsvarande linjära avbildningen uppfyller att alla är linjärt oberoende, vilket ger att alla är linjärt oberoende. Därmed är en bas. Vi visar nu . Antag alltså att är en bas för . Givet en bilinjär avbildning vet vi då att den motsvarande linjära avbildningen unikt måste bestämmas av att för alla och , eftersom vi antagit att alla utgör en bas. Då gäller att för alla och , alltså är och är unikt bestämd, så mycket riktigt är en tensorprodukt av och . Från detta följer att om och är ändligdimensionella så ärVi noterar att även om vi här fortfarande inte givit ett exempel på en möjlig explicit definition av en tensorprodukt har vi ändå visat existens, eftersom vi nu bara kan välja ett vektorrum som är av "rätt storlek" så att vi kan kalla varje basvektor i en bas till det rummet för .Exempel En möjlig tensorprodukt av med är . Detta eftersom är en bas till och därför är en bas till . Vi kan då till exempel låta , , , där högerleden alltså är enhetsvektorerna till . Om både och är ändligdimensionella kan vi ge en explicit definition av en tensorprodukt med hjälp av bilinjära former, d.v.s bilinjära avbildningar till kroppen .Sats: Tensorprodukt med bilinjära former Om och är ändligdimensionella vektorrum över kroppen är en möjlig tensorprodukt med . Bevis: Att avbildningarna från ligger i och att är bilinjär framgår av att multiplikation i en kropp är bilinjärt och att är linjära. Låt nu och vara baser för respektive . Vi vill visa att alla utgör en bas till . Vi visar först att de spänner upp . Vi har attEftersom och är ändligdimensionella finns duala baser och till respektive . Alltså bestäms alla unikt av alla . Vi ser alltså attför alla och konstanter . Tag nu ett . Genom att välja alla ser vi då att alla spänner upp , och genom att välja alla ser vi att alla är linjärt oberoende, alltså är de en bas till . Vi såg tidigare att om och är ändligdimensionella så är Vi vet ju att linjära avbildningar från till bestäms unikt av stycken tal som vi kan ordna i en matris, så en naturlig fråga är hur detta relaterar till tensorer. I nästa sats ser vi att om är ändligdimensionellt ( får vara oändligdimensionellt) så kan vi välja som rummet av alla linjära avbildningar från till , alltså så att är en linjär avbildning från till !Sats: Om och är vektorrum och är ändligdimensionellt så är en möjlig tensorprodukt med . Bevis: Att är bilinjär framgår av att multiplikation i en kropp är bilinjärt, samt att alla är linjära. Välj nu baser och för respektive . Då finns en dual bas , och vi vill då visa att är en bas till . Vi ser att och att detta är en bas för eftersom alla kan skrivas entydigt som en matris så att ]]>matematik/linjär-algebra/tensorer.htmlMatematik/Linjär algebra/Tensorer.mdSat, 11 Jan 2025 09:20:13 GMT#matematik/linjär-algebra
Definition: Alternerande multilinjär avbildning En Multilinjär avbildningMultilinjär avbildning kallas alternerande om för alla och vektorer .
Vi ser att definitionen inte är identisk med den för Alternerande tensorerAlternerande tensorer, men något som liknar den definitionen mycket mer är skevsymmetriska multilinjära avbildningar.Definition: Skevsymmetrisk multilinjär avbildning En multilinjär avbildning kallas skevsymmetrisk om byter tecken när två argument byter plats, alltså om för alla permutationer och vektorer . Och som vi ganska enkelt kan se betyder alternerande och skevsymmetrisk (nästan) samma sak.Sats: Skevsymmetrisk vs Alternerande Om en multilinjär avbildning är alternerande så är skevsymmetrisk. Om är skevsymmetrisk och även i kroppen så är alternerande. Bevis: Antag först att är alternerande och fixera godtyckligt alla förutom två argument till . Då är Antag nu istället att är skevsymmetrisk och att . Då är ]]>matematik/linjär-algebra/alternerande-och-skevsymmetriska-avbildningar.htmlMatematik/Linjär algebra/Alternerande och skevsymmetriska avbildningar.mdFri, 10 Jan 2025 16:45:37 GMT#matematik/linjär-algebra
Vi studerar speciella slags TensorerTensorer som utgör delrum av tensorprodukter.Definition: Symmetriska och alternerande tensorer Låt vara ett vektorrum med bas . En tensor kallas symmetrisk om för alla permutationer , där . kallas alternerande om istället byter tecken när två index byter plats, alltså om betecknar mängden av alla symmetriska -tensorer för , och betecknar mängden av alla alternerande -tensorer för . Det kan vara lite svårt att från denna definition få en bra bild av vad som sägs, så vi tar ett exempel. Exempel Om vi betraktar -tensorer till något -dimensionellt vektorrum så kan ju de beskrivas med en uppsättning tal enligt Om vi ordnar talen i en matris så är tensorn symmetrisk om och endast om är symmetrisk, och tensorn är alternerande om och endast om är antisymmetrisk. Vi ser det eftersom den enda (icke-identitet) permutationen av element är att byta plats på elementen, så för att tensorn ska vara symmetrisk ska alltså och för att den ska vara alternerande så ska . För att få en bättre bild av vad som händer när vi går till tensorer av högre ordning än 2 kan vi betrakta dimensionerna av rummen av symmetriska respektive alternerande tensorer.Sats: , Om är ett vektorrum så är Bevis: För att hitta dimensionen av alla symmetriska -tensorer undrar vi alltså hur många linjärt oberoende uppsättningar tal som finns sådana att motsvarande tensor är symmetrisk. Det är då antalet uppsättningar index som inte är permutationer av varandra, vilket är samma som antalet sätt att välja element från stycken, eftersom vi kan se det som att placera ut stycken "separerare" bland dessa element (klassiskt kombinatoriktänk). För alternerande -tensorer gör vi på samma sätt men måste tänka på att vi nu inte får ha något ; alla sådana är eftersom vi kan byta plats på och vilket ger att . Alltså blir antalet uppsättningar index som vi får välja fritt till helt enkelt antalet sätt att välja element från , alltså . ]]>matematik/linjär-algebra/symmetriska-och-alternerande-tensorer.htmlMatematik/Linjär algebra/Symmetriska och alternerande tensorer.mdFri, 10 Jan 2025 16:45:06 GMT#matematik/linjär-algebra Definition: Markovkedja En Markovkedja är en slags stokastisk process som vid varje tidpunkt befinner sig i ett av ett ändligt antal möjliga tillstånd, och där sannolikheten att vid en viss tidpunkt befinna sig i ett visst tillstånd endast beror på tillståndet i föregående tidpunkt. En Markovkedja med stycken möjliga tillstånd bestäms alltså unikt av sannolikheterna att gå från tillstånd till tillstånd för alla . Vi kan ordna dessa sannolikheter i en kvadratisk matris som vi kallar för en sannolikhetsmatris. I en sådan matris beskriver alltså kolumn sannolikheterna att gå till de olika möjliga tillstånden om det aktuella tillståndet är tillstånd . Definition: Sannolikhetsvektor, sannolikhetsmatris En sannolikhetsvektor är en reell kolumnvektor sådan att varje element är ickenegativt och sådan att summan av alla element är . En sannolikhetsmatris är en kvadratisk matris där varje kolumn är en sannolikhetsvektor. Sats: Markovkedjor beskrivs av sannolikhetsmatriser Om en Markovkedja med stycken tillstånd vid tidpunkten befinner sig i tillstånd med sannolikheten där är en kolumnvektor, så finns en sannolikhetsmatris sådan att för alla . Bevis: Vi ordnar enligt tidigare så att är sannolikheten att gå från tillstånd till tillstånd , som vi vet finns enligt definitionen av en Markovkedja. Då är I många fall kommer en Markovkedja gå mot ett stationärt tillstånd, där alltså gränsvärdet existerar. Isåfall vet vi alltså att , så är en egenvektor med egenvärde . Vi ser dock att vi inte alltid kommer gå mot ett stationärt tillstånd, eftersom vi kan bilda en Markovkedja och välja ett utgångsläge så att den med hundra procents sannolikhet går i en bestämd cykel mellan flera tillstånd. Däremot kan vi visa att det åtminstone alltid finns ett stationärt tillstånd.Lemma Om är en sannolikhetsmatris och är egenvektor med egenvärde där , och så är en sannolikhetsvektor och egenvektor med egenvärde . Bevis: För alla har vi att men vi vet också att eftersom är en sannolikhetsmatris, och eftersom alla termer är ickenegativa måste alltså . När detta skaleras med blir det en sannolikhetsvektor. Sats: Stationärt tillstånd finns alltid Om är en sannolikhetsmatris så finns en sannolikhetsvektor som är en egenvektor med egenvärde . Bevis:
Om vi låter så vet vi att eftersom varje kolumn i är en sannolikhetsvektor. Ekvivalent har vi alltså att , och eftersom har samma egenvärden som måste även ha egenvärdet ( och har samma karaktäristiska polynom eftersom determinanten inte påverkas av transponering). Det finns alltså en egenvektor med egenvärde till , och enligt LemmaLemma är vi klara. Definition: Irreducibel sannolikhetsmatris En sannolikhetsmatris kallas irreducibel om det för varje finns ett sådant att , eller ekvivalent om det från varje tillstånd går att nå varje tillstånd efter ett ändligt antal steg. Definition: Reguljär sannolikhetsmatris En sannolikhetsmatris kallas reguljär om det finns ett sådant att är positiv, alltså sådant att varje element i är positivt. En tolkning av vad som menas med en Markovkedja som beskrivs av en reguljär sannolikhetsmatris är att det finns en tidpunkt där kedjan oavsett utgångsläge kan vara i vilket tillstånd som helst. Detta eftersom vi efter att ha applicerat en positiv sannolikhetsmatris på en sannolikhetsvektor får en positiv sannolikhetsvektor, vilket betyder att vi kan vara varsomhelst.Vi ser direkt från dessa definitioner att alla reguljära sannolikhetsmatriser också är irreducibla.Sats Om är en irreducibel sannolikhetsmatris så gäller Om är en egenvektor med egenvärde där så är samtliga koordinater i nollskilda. Det finns en positiv sannolikhetsvektor som är en egenvektor med egenvärde . Om är ett egenvärde där så är där och är algebraisk respektive geometrisk multiplicitet. De komplexa egenvärdena med belopp är precis de :e enhetsrötterna för något . Bevis:
Enligt SatsSats är en egenvektor med egenvärde . är inte nollvektorn, så det finns ett s.a. . Eftersom är irreducibel vet vi att det för alla finns ett så att , vilket ger att , alltså är .
Vi vet enligt SatsSats att det finns en sannolikhetsvektor som är en egenvektor med egenvärde . Ovan såg vi att också är positiv. Givet ett egetvärde där , om det finns två oberoende egenvektorer kan vi bilda en linjärkombination som också är en egenvektor med egenvärde , där en men inte alla koordinater är , vilket är en motsägelse, alltså är . Om så finns en generaliserad egenvektor s.a. där är en egenvektor, vilket ger att vars norm går mot när går mot eftersom och . Detta är en motsägelse eftersom och därmed även är sannolikhetsmatriser och normerna av kolumnerna därför inte kan gå mot . Därmed är . Sats: Perron-Frobenius sats Om är en reguljär sannolikhetsmatris så gäller Det finns en positiv egenvektor med egenvärde . där och är algebraisk respektive geometrisk multiplicitet. Alla egenvärden förutom uppfyller att . finns och är oberoende av . Bevis:
Vi vet att är irreducibel eftersom den är reguljär, alltså stämmer påståendet enligt SatsSats.
Följer från samma SatsSats. Låt vara sannolikhetsvektorn med egenvärde , låt och bilda . Vi får då att , och , alltså är . Både och är positiva, alltså finns ett s.a. är positiv. Den är dock inte en sannolikhetsmatris, så vi bildar som då alltså blir en sannolikhetsmatris. Vi betraktar potenserna av och får att Från detta får vi och eftersom är en sannolikhetsmatris är även alla det, så därför går mot när . Därmed, om är en egenvektor med egenvärde så får vi att ska gå mot när , men det kan endast ske om eller om , eftersom om så går detta mot oändligheten och om men så går detta i en cykel och alltså inte mot något gränsvärde. Vi får att ]]>matematik/linjär-algebra/markovkedjor-och-sannolikhetsmatriser.htmlMatematik/Linjär algebra/Markovkedjor och sannolikhetsmatriser.mdThu, 09 Jan 2025 12:34:30 GMT#matematik/linjär-algebra
Vi har sett att både Självadjungerade operatorerSjälvadjungerade operatorer över och Unitära operatorerUnitära operatorer på ett ändligdimensionellt inre produktrum har ortogonala baser av egenvektorer. Vi kan ju då fråga oss vad likheten mellan dessa är, och om vi kan generalisera dem på något sätt. Vi börjar med att relatera existensen av ortogonala egenbaser till självadjungerade respektive unitära operatorer.Sats Om är linjär och det finns en ortogonal bas till av egenvektorer till så är självadjungerad om och endast om alla egenvärden är reella, och är unitär om och endast om alla egenvärden har belopp . Bevis: Med avseende på basen av ortonormala egenvektorer blir matrisen för en diagonalmatris , och är alltså självadjungerad om och endast om , alltså om och endast om alla egenvärden , så . Den är även unitär om och endast om , alltså om och endast om alla egenvärden , så . Nu bildar vi en generalisering av dessa operatorer. Vi vet ju att självadjungerade operatorer uppfyller medan unitära operatorer uppfyller . Båda dessa uppfyller uppenbarligen att , och det ska visa sig att det är just denna egenskap som är avgörande.Definition: Normal operator Om är linjär och så kallas normal. Sats: Normal Har ortonormal egenbas En operator där är ett komplext ändligdimensionellt inre produktrum är normal om och endast om den har en ortogonal bas av egenvektorer. Bevis: Vi visar först . Antag alltså att är normal. Vi använder induktion på . Om så är vi klara eftersom motsvarar en skalering. Annars vet vi att det finns ett egenvärde med normal egenvektor till eftersom . Låt nu . Vi vet då att det finns ett unikt så att , alltså så att . Eftersom är normal vet vi då att vilket ger att , alltså är , vilket ger att för alla , så är invariant under . Därmed kan vi applicera satsen på restriktionen av till och få en ortonormal bas till av egenvektorer till . När vi lägger till till denna bas får vi en ortonormal bas till . Vi visar nu . Antag alltså att har en ortonormal bas av egenvektorer med egenvärden . Då får vi för alla att Detta ger att för alla , alltså är . ]]>matematik/linjär-algebra/normala-operatorer.htmlMatematik/Linjär algebra/Normala operatorer.mdThu, 09 Jan 2025 11:25:37 GMT#matematik/linjär-algebra Definition: Isometri Om och är inre produktrum och är linjär, samt om för alla , så kallas för en isometri. Sats: Isometrier är injektiva Om är en isometri så är injektiv. Bevis: För alla så gäller att om så är , alltså är . Sats: Isometri Inre produkt bevaras Om är linjär och är ett inre produktrum så är en isometri om och endast om bevarar den inre produkten, alltså för alla . Bevis: Vi visar satsen för fallet då . Om blir beviset likadant men med längre uträkningar. är uppenbar eftersom om den inre produkten bevaras så bevaras normen. Vi behöver alltså bara visa , så antag att är en isometri. Vi utnyttjar bilinjäriteten av den inre produkten i , där vi kan använda att alltså är för alla så en inre produkt bestäms alltså av normer, alltså bevaras den inre produkten om normen bevaras. Sats: Isometri Om är linjär och är ett inre produktrum så är en isometri om och endast om . Bevis:
Vi vet att om och endast om för alla , vilket enligt SatsSats gäller om och endast om för alla , vilket gäller om och endast om för alla . Sats: Isometri Ortonormala baser avbildas på ortonormala baser Om är linjär och är ett inre produktrum med minst en ortonormal bas så är en isometri om och endast om avbildar alla ortonormala baser på ortonormala baser. Bevis: Om är en isometri vet vi att alla ortonormala baser avbildas på ortogonala baser eftersom den inre produkten bevaras. Om istället alla ortonormala baser avbildas på ortonormala baser så vet vi att vi kan välja en ortonormal bas . För alla har vi då att vilket ger att där vi utnyttjat att eftersom den ortonormala basen avbildas på en ortonormal bas . I satsen ovan har vi alltså kravet att ska ha minst en ortonormal bas. Annars uppfyller ju egentligen alla linjära avbildningar på att de avbildar ortonormala baser på ortonormala baser, eftersom det inte finns några! Som vi sett tidigare finns alltid en ortonormal bas om är ändligdimensionellt, men det kan även finnas i det oändligdimensionella fallet. Definition: Ortogonal och unitär operator Om operatorn är en inverterbar isometri så kallas ortogonal om och unitär om . Sats: Ortogonal/unitär En operator är ortogonal/unitär om och endast om är inverterbar och . Bevis:
Vi visar först . Antag alltså att är ortogonal/unitär. Då är en isometri, alltså är enligt SatsSats. är även inverterbar, alltså surjektiv, så är alltså på hela . Vi visar nu . Antag alltså att är inverterbar och . Vi behöver bara visa att är en isometri, vilket följer direkt eftersom för alla . Just att vi säger att ska vara en inverterbar isometri är egentligen bara viktigt för oändligdimensionella vektorrum. På ändligdimensionella vektorrum är ju injektivitet, som vi vet att alla isometrier har, ekvivalent med inverterbarhet. På oändligdimensionella vektorrum däremot kan vi till exempel på bilda avbildningen som är en isometri men inte inverterbar eftersom den inte är surjektiv.
Definition: Ortogonal/unitär matris Om är en ortogonal/unitär operator och är matrisen för med avseende på en Ortonormal basOrtonormal bas så kallas för en ortogonal/unitär matris. Sats: Egenvärden till ortogonala/unitära operatorer har belopp Om är en ortogonal/unitär operator och är ett egenvärde så är . Bevis: Låt vara en egenvektor med egenvärde . Då är Sats: Egenvektorer till ortogonala/unitära operatorer är ortogonala Om är en ortogonal/unitär operator och är olika egenvärden till med respektive egenvektorer så är . Bevis: Eftersom bevarar den inre produkten får vi att men eftersom är , så då måste . Sats: Unitära operator har ortogonal egenbas Om är en unitär operator och är ändligdimensionellt så finns en ortogonal bas av egenvektorer till . Bevis:
Vi använder induktion på . Eftersom finns minst ett egenvärde med egenvektor . Därför är satsen uppenbar om . Annars låter vi och vet då enligt SatsSats att . Vi vet även att är invariant under eftersom om så är för alla . Därmed kan vi applicera satsen på det mindre rummet och får alltså en ortogonal bas av egenvektorer till för . Denna bas tillsammans med utgör då en ortogonal bas för eftersom .
Sats: unitär om självadjungerad Om är SjälvadjungeradSjälvadjungerad och är ändligdimensionellt så är unitär. Bevis:
Eftersom är självadjungerad finns en ortonormal bas av egenvektorer med respektive reella egenvärden . Vi får då att , så eftersom får vi att den ortonormala basen avbildas på en annan ortonormal bas . Enligt SatsSats räcker detta för att ska vara en isometri, och eftersom är ändligdimensionellt är även inverterbar, alltså unitär. Av satsen ovan ser vi att om är en antisymmetrisk matris så är konjugatsymmetrisk, alltså är unitär och reell, alltså ortogonal.]]>matematik/linjär-algebra/ortogonala-och-unitära-operatorer.htmlMatematik/Linjär algebra/Ortogonala och unitära operatorer.mdThu, 09 Jan 2025 10:02:04 GMT#matematik/linjär-algebra Definition: Adjungerad avbildning Om och är linjära och för alla och så kallas för den adjungerade avbildningen till . Vi kallar för den adjungerade avbildningen eftersom vi enkelt kan visa att om den finns så är den unik.Sats: Adjungerad operator är unik En linjär avbildning har högst en adjungerad avbildning . Bevis: Om är adjungerade avbildningar så har vi att
för alla och , vilket enligt SatsSats ger att för alla , alltså är .
Vi ser även direkt vissa egenskaper, som att . Vi har dock fortfarande inte visat existens, så vi vet inte om det alltid finns en adjungerad operator. Det ska visa sig att åtminstone i det ändligdimensionella fallet finns alltid en adjungerad operator. Vi ser det genom att betrakta Ortonormala baserOrtonormala baser.Sats: Adjungerade operatorn är konjugattransponatet i ON-bas Om och är ändligdimensionella inre produktrum och är linjär, samt är matrisen för m.a.p ortonormala baser för och , så är konjugattransponatet matrisen för m.a.p samma ortonormala baser. Bevis:
Låt och vara ortonormala baser för respektive . Då får vi att matrisen för m.a.p de ortonormala baserna enligt SatsSats ges av och på samma sätt ges då matrisen för den adjungerade operatorn av alltså är . Förutom att vi vill garantera existens av ortonormala baser ser vi att eftersom vi tar transponatet av är det viktigt att åtminstone är ändligdimensionellt; annars kan vi i transponatet få kolumner med ett oändligt antal nollskilda element.Definition: Självadjungerad Om är linjär och så kallas självadjungerad. Definintion: Konjugattransponat Om är en reell eller komplex matris så låter vi beteckna konjugattransponatet, alltså Om kallar vi för konjugatsymmetrisk eller Hermitesk. Sats: Självadjungerade operatorer har endast reella egenvärden Samtliga egenvärden till en självadjungerad operator är reella. Bevis: Låt vara en egenvektor till med egenvärde . Då är alltså är , alltså är . Sats: Spektralsatsen Om är ett ändligdimensionellt inre produktrum och operatorn är självadjungerad så finns en ortogonal bas av egenvektorer till . Bevis:
Vi använder induktion på . Om så är satsen uppenbar eftersom motsvarar en skalering. Antag nu att . Vi vet då att det finns minst ett egenvärde till oavsett om eller , eftersom om så kan vi se matrisen för som en komplex matris vars karaktäristiska polynom vi då vet har minst en komplex rot, men enligt SatsSats är den roten reell, alltså även ett egenvärde om . Låt därmed vara en egenvektor med egenvärde . Låt sedan , vilket ger att . Vi vet att är invariant under , och vi får att även är det eftersom om så är Därmed kan vi applicera satsen på restriktionen av till och få en ortogonal bas till av egenvektorer till . När vi lägger till till denna bas får vi en ortogonal bas till eftersom och är ortogonal mot alla vektorer i . ]]>matematik/linjär-algebra/adjungerade-avbildningar.htmlMatematik/Linjär algebra/Adjungerade avbildningar.mdThu, 09 Jan 2025 09:54:05 GMT#matematik/linjär-algebra Definition: Dualt rum Om är ett vektorrum så är det duala rummet vektorrummet En linjär avbildning till kallas för en linjär form. Exempel Om och är kolumnvektorer så kan ses som alla radvektorer av storlek , eftersom en radvektor multiplicerat från vänster med en kolumnvektor blir ett tal. För att generalisera exemplet går vi till inre produktrum.Definition: Om är ett inre produktrum och så är den linjära formen som ges av att för alla . Definition: Dual bas Om är ändligdimensionellt med bas så är den duala basen en bas för som ges av där för alla . Vi ser att om är oändligdimensionellt så blir den "duala basen" linjärt oberoende men inte en bas eftersom en linjär form kan vara nollskild för oändligt många basvektorer medan alla linjära former som spänns upp av den "duala basen" endast är nollskilda för ändligt många basvektorer.Vi märker även att den duala basen ger koordinater eftersom
Slutligen ser vi även att om är en Ortonormal basOrtonormal bas så följer det direkt från definitionen att är en dual bas.]]>matematik/linjär-algebra/duala-rum.htmlMatematik/Linjär algebra/Duala rum.mdThu, 09 Jan 2025 09:23:18 GMT#matematik/linjär-algebra
För att kunna tala om oändliga summor av vektorer måste vi definiera någon slags konvergens. Vi kan göra det enkelt på Inre produktrumInre produktrum.Definition: Konvergens Låt vara ett inre produktrum och vara en följd av vektorer i . Följden kallas konvergent om det finns en vektor så att det för alla finns ett så att för alla . Vi skriver då Vi märker dock att det är svårt att avgöra om en godtycklig följd konvergerar eftersom vi inte nödvändigtvis vet vad den konvergerar mot. Därför inför vi även så kallade Cauchyföljder.Definition: Cauchyföljd Låt vara ett inre produktrum och vara en följd av vektorer i . Följden kallas för en Cauchyföljd om det för alla finns ett så att för alla . Sats: Konvergent Cauchyföljd Om är en konvergent följd av vektorer i ett inre produktrum så är följden en Cauchyföljd. Bevis:
Låt . TriangelolikhetenTriangelolikheten ger då att och konvergensen ger att vi kan få och godtyckligt små, alltså är följden en Cauchyföljd. Omvändningen är däremot inte alltid sann. Till exempel finns rationella Cauchyföljder som konvergerar mot irrationella tal.Definition: Fullständigt metriskt rum Ett metriskt rum kallas fullständigt om alla Cauchyföljder konvergerar. Definition: Låt vara vektorrummet av alla rationella talföljder. Låt vara delrummet av alla rationella Cauchyföljder, och låt
Då definierar vi som KvotrummetKvotrummet . På det sättet blir ett fullständigt metriskt rum.]]>matematik/linjär-algebra/konvergens-och-cauchyföljder.htmlMatematik/Linjär algebra/Konvergens och Cauchyföljder.mdThu, 09 Jan 2025 09:11:34 GMT#matematik/linjär-algebra
Med DiagonaliseringDiagonalisering såg vi att vi genom att välja rätt bas ofta kan uttrycka en OperatorOperator med en väldigt enkel matris - en diagonalmatris - och med Jordans NormalformJordans Normalform såg vi att vi alltid kan uttrycka en operator med en hyfsat enkel matris. Nu vill vi göra samma sak för generella avbildningar där vi alltså nu har friheten att välja baser både för och för .När vi får välja baserna helt fritt har vi i någon mening för mycket frihet eftersom vi alltid kan få matrisen för på blockformen
där är en identitetsmatris och nollorna är nollmatriser så att matrisen blir av rätt storlek. Då förlorar vi ju dock i princip all information om vad avbildningen gör, så det är inte speciellt användbart. Vi sätter därför begränsningen att baserna ska vara OrtonormalaOrtonormala.Sats: Singulärvärdesuppdelning Om är linjär och och är ändligdimensionella inre produktrum så finns ortonormala baser för och så att matrisen för blir på blockformen där är en diagonalmatris med positiva reella tal längs diagonalen, och där nollorna är nollmatriser så att matrisen blir av rätt storlek. Bevis:
Det räcker att visa satsen för fallet då är en isomorfi, eftersom om är ändligdimensionellt vet vi annars att och kan betrakta restriktionen av till med målrum , som då är en isomorfi. Eftersom och är ändligdimensionella vet vi enligt SatsSats att den adjungerade operatorn finns. Vi vet då enligt SatsSats att både och är diagonaliserbara eftersom de är självadjungerade. Vi låter därmed och vara egenrummen till egenvärde för respektive . Vi ser att om är en egenvektor med egenvärde till så är vilket ger att är reellt och positivt eftersom . Vi ser även att alltså är en egenvektor med egenvärde till , eftersom är injektiv och därmed . För varje egenvärde kan vi därmed välja en ortonormal bas till och då få att alltså är en ortogonal bas för eftersom ty är en isomorfi och därmed inte kan vara större än spannet av . Vi ser att om vi låter för alla så blir en ortonormal bas för . Vi får då alltså att för alla . Vi ser även att alla är ortogonala mot varandra eftersom om och är egenvektorer till så är alltså måste om (och på samma sätt för ). Därmed utgör alla dessa ortogonala baser för och tillsammans ortonormala baser för respektive . Och med m.a.p dessa baser får vi matrisen på den efterfrågade formen, eftersom matrisen för på alltså är Definition: Singulärvärden och singulärvektorer Låt vara linjär och och vara ändligdimensionella inre produktrum. Om är ett positivt reellt tal, och är enhetsvektorer, samt så kallas för ett singulärvärde, för högersingulär och för vänstersingulär. Anmärkning Även räknas ibland som ett singulärvärde, och alla och kallas då högersingulära respektive vänstersingulära. Vi får dock inte de entydiga paren av en vänstersingulär och högersingulär vektor som vi får med positiva singulärvärden. Definition: Singulärvärdesuppdelning Om är en ändlig matris med element i eller så är singulärvärdesuppdelningen av matriser sådana att där är ortogonala/unitära och är på blockformen där är en diagonalmatris med positiva reella i fallande ordning nedåt längs diagonalen. Vi ser alltså att och här är basbytesmatriser till baserna där matrisen är på formen av , där alltså diagonalelementen är singulärvärdena ordnade i fallande ordning. Just att de ska vara i fallande ordning är så att blir unik. Varken eller blir unika eftersom en del kolumner i och fortfarande kan permuteras om de tillhör samma singulärvärde.]]>matematik/linjär-algebra/singulärvärdesuppdelning.htmlMatematik/Linjär algebra/Singulärvärdesuppdelning.mdWed, 08 Jan 2025 20:11:45 GMT#matematik/linjär-algebra
Säg att vi har en Linjär avbildningLinjär avbildning . Då finns ju något nollrum , och vi noterar att om vi tar något så är för alla . Det vore ju då rimligt att betrakta alla vektorer som kan skrivas på formen för något som samma vektor eftersom ändå behandlar dem som det. Detta leder oss till att först definiera sidoklasser, som vi låter vara mängder av vektorer som vi vill betrakta som samma. Just nollrummet var ett motiverande exempel, men vi vill såklart definiera detta för godtyckligt delrum. Definition: Sidoklass För alla och delrum definierar vi sidoklassen enligt Hittills är sidoklasser alltså bara mängder av vektorer. Notera även att sidoklasser ofta inte är delrum. Hursomhelst vill vi ju betrakta dessa mängder som vektorer, så då måste vi ju definiera addition och skalärmultiplikation. Innan vi kan göra det hittar vi några egenskaper för sidoklasserna. Först noterar vi att vi kan få samma sidoklass från olika val av . Sats: Olika vektorer, samma sidoklass För alla och delrum så är om och endast om Bevis: Om så är , alltså är för något . Om istället så är Vi är nu redo att definiera addition och skalärmultiplikation av våra sidoklasser.Definition: Sidoklasser som vektorer För alla och delrum så är och Vi måste bara verifiera att dessa operationer är väldefinierade, vilket följer från förra satsen.Sats: Addition och skalärmultiplikation av sidoklasser är väldefinierat Addition och skalärmultiplikation av sidoklasser är väldefinierat, det vill säga om och så är . Bevis: Vi har att och , vilket ger att Vi kan nu alltså bilda ett vektorrum av våra sidoklasser. Vi kallar vektorrummet för kvotrummet av och .Definition: Kvotrum Kvotrummet av ett vektorrum och delrum är vektorrummet av alla sidoklasser, d.v.s
Med kvotrum kan vi alltså se det som att vi från ett vektorrum tar bort informationen som ett delrum innehåller. Detta liknar Direkta summorDirekta summor, där vi istället lägger till informationen som ett vektorrum innehåller. På det sättet kan alltså direkt summa och kvot ses som motsatta operationer.Sats: Om är ett delrum så är Bevis: Välj så att . Vi kan definiera enligt för alla och . Den är linjär, surjektiv och injektiv eftersom Sats: Om är ändligdimensionellt så är Bevis: Eftersom får vi att För att gå tillbaka till vårt ursprungliga exempel med en linjär avbildning med nollrum , kan vi alltså bilda rummet vars vektorer alltså är mängder av vektorer som ger samma värde för. Hur agerar avgörs alltså av hur den agerar på sina sidoklasser. Detta leder oss till en rätt rimlig sats.Sats: Isomorfisatsen Om är linjär så är Bevis: Vi definierar enligt . Detta är väldefinierat eftersom om så är , alltså är linjär eftersom är injektiv eftersom och är surjektiv per definition, alltså är en isomorfi. Från isomorfisatsen följer även den lite svagare dimensionssatsen.Sats: Dimensionssatsen Om är linjär och är ändligdimensionellt så är Bevis: Vi får från isomorfisatsen att ]]>matematik/linjär-algebra/kvotrum.htmlMatematik/Linjär algebra/Kvotrum.mdWed, 08 Jan 2025 13:32:44 GMT#matematik/linjär-algebra Definition: Kropp En kropp är en mängd tillsammans med två binära operationer och som har åtminstone två element och , med egenskaperna Associativitet: och Kommutativitet: och Identiteter: och Inverser: finns ett s.a. , och om så finns ett så att . Distributivitet: för alla . Definition: Delkropp En delkropp av en kropp är en delmängd där , , , för alla , och för alla . Sats: Kropp är vektorrum över delkropp Om är en kropp och är en delkropp, så är ett vektorrum över . Bevis: Addition av tal i samt multiplikation med tal i är väldefinierat och uppfyller samma regler som de för ett vektorrum. Definition: Isomorfi av kroppar Om är kroppar så är en isomorfi mellan och en bijektion som respekterar addition, multiplikation och enheter, det vill säga , , och . Notera att det från denna definition följer att en isomorfi även respekterar inverser, så att och .Definition: För alla heltal så är restklasserna i vid division med med addition och multiplikation som ges av Sats: kropp om primtal Om är ett primtal så är en kropp med element. Bevis: Heltalen uppfyller redan alla egenskaper förutom existensen av en multiplikativ invers. Det följer att även heltalen modulo uppfyller dessa krav. Kvar är att visa att även multiplikativa inverser finns för nollskilda . Vi noterar att om så är , och eftersom så är alltså , så . Därmed är multiplikation med injektivt, och eftersom är ändlig är alltså multiplikation med även surjektivt, alltså finns en multiplikativ invers. Sats: Minsta delkropp är eller för något primtal Om är en kropp där så finns en minsta delkropp som är snittet av alla delkropp i . Då är isomorf med antingen eller . Bevis: Vi vet att och därmed även . Om detta ger oändligt många element så finns alla heltal och därmed alla rationella tal i , och då är . Annars finns ett minsta s.a. . Det måste vara ett primtal eftersom om så är vilket ger att antingen eller , men det motsäger att är minst. Definition: Primkropp Den minsta delkroppen av en kropp kallas för primkroppen i . Sats: En ändlig kropp har element Om är en ändlig kropp så har exakt stycken element för något primtal och heltal . Bevis: Primkroppen i har ett primtal element, och är ett vektorrum över och är därför isomorf med för något , som har stycken element. Definition: Karakteristik Om primkroppen till en kropp är så har karakteristik . Om primkroppen är så har karakteristik . Sats: Om en kropp har karakteristik så är för alla . Bevis: I binomialutvecklingen blir varje term förutom den första och sista delbar med eftersom och är delbart med medan varken eller är det om . Från detta följer både Fermats lilla sats, som säger att , och från det även Eulers sats, som säger att , vilket fås från att helt enkelt dividera med i Fermats lilla sats, om .Sats: Ändliga kroppar kan representeras av matriser Alla ändliga kroppar går att representera med en mängd matriser och med multiplikation och addition definierat som vanligt för matriser. Bevis: Låt vara en ändlig kropp med primkroppen . Det finns då en bas för som vektorrum över . För alla finns då en matris m.a.p basen som motsvarar multiplikation med , som är linjärt. Då beter sig dessa matriser precis som elementen i eftersom matrisen för blir och matrisen för blir . Mängden av alla är därmed en kropp isomorf med . Definition: Irreducibelt polynom Ett polynom kallas irreducibelt om det inte kan skrivas som en produkt av två polynom i av lägre grad.
Sats: Konstruktion av kropp Om är en matris i och MinimalpolynometMinimalpolynomet till är irreducibelt så är en kropp med addition och multiplikation av matriser som operationer. Bevis: Vi vet redan att är ett vektorrum över . Låt . Då är en bas för . Vi ser även att multiplikation i är kommutativt eftersom och kommuterar för alla . Kvar att visa är då att multiplikativa inverser finns. Antag att ett nollskilt element i inte är inverterbart. Elementet kan skrivas som där eftersom om så är elementet en multipel av identitetsmatrisen, som är inverterbar. Med polynomdivision får vi då att där inte är nollpolynomet eftersom är irreducibelt. Vi vet då att , alltså är , alltså är inverterbar eftersom det är en multipel av identitetsmatrisen. Därmed får vi alltså är inverterbar för alla , och därmed är en kropp. ]]>matematik/linjär-algebra/kroppar.htmlMatematik/Linjär algebra/Kroppar.mdWed, 08 Jan 2025 10:37:30 GMTLinjära avbildningarLinjära avbildningar
Direkta summorDirekta summor
KvotrumKvotrum
Egenvärden och egenvektorerEgenvärden och egenvektorer
Karakteristiska polynomKarakteristiska polynom
MinimalpolynomMinimalpolynom
Samtidig diagonaliseringSamtidig diagonalisering
Nilpotenta operatorerNilpotenta operatorer
Jordans NormalformJordans Normalform
Inre produktrumInre produktrum
Norm och vinklarNorm och vinklar
Ortogonalitet och projektionerOrtogonalitet och projektioner
Konvergens och CauchyföljderKonvergens och Cauchyföljder
HilbertrumHilbertrum
Duala rumDuala rum
Adjungerade avbildningarAdjungerade avbildningar
Ortogonala och unitära operatorerOrtogonala och unitära operatorer
Normala operatorerNormala operatorer
Duala avbildningarDuala avbildningar
SingulärvärdesuppdelningSingulärvärdesuppdelning
Moore-Penrose-inversenMoore-Penrose-inversen
Markovkedjor och sannolikhetsmatriserMarkovkedjor och sannolikhetsmatriser
Multilinjära avbildningarMultilinjära avbildningar
TensorerTensorer
Symmetriska och alternerande tensorerSymmetriska och alternerande tensorer
Alternerande och skevsymmetriska avbildningarAlternerande och skevsymmetriska avbildningar
Yttre potenserYttre potenser
Yttre algebranYttre algebran
KropparKroppar ]]>matematik/linjär-algebra.htmlMatematik/Linjär algebra.mdWed, 08 Jan 2025 10:37:02 GMT#matematik/linjär-algebra
Tyvärr går ju inte alla OperatorerOperatorer att DiagonaliseraDiagonalisera, men vi kan ändå alltid göra någonting som är så bra som möjligt, åtminstone om vår kropp är algebraiskt sluten, till exempel om kroppen är . När vi diagonaliserar en operator vill vi givet egenvärdena till hitta en bas bestående av vektorer i egenrummen . Principen med Jordans normalform är att betrakta så kallade generaliserade egenrum som är på formen där är den algebraiska multipliciteten för . Och det visar sig att det alltid (om kroppen är algebraiskt sluten) går att hitta en bas bestående av vektorer från dessa generaliserade egenrum.
Beviset för att detta alltid fungerar samt metoden för att ta fram en sådan bas är ganska komplexa. Vi kommer överföra beviset till Nilpotenta operatorerNilpotenta operatorer; läs gärna igenom den sidan!
Sats: Uppdelning i generaliserade egenrum Om är linjär, är ändligdimensionellt och är algebraiskt slutet, samt om är de unika egenvärdena till med respektive algebraiska multipliciteter , så är den Inre direkta summanInre direkta summan av delrum med respektive dimensioner sådana att alla är invarianta under och sådana att alla är nilpotenta på . Bevis:
Att ska vara algebraiskt slutet är så att vi dels vet att det finns egenvärden, och dels så att vi vet att karaktäristiska polynom kan faktoriseras till linjära faktorer. För alla , definiera . Vi använder denna satsdenna sats på för att få delrum och s.a. är nilpotent på och inverterbar på . Eftersom och är invarianta under så är de även invarianta under för alla , därmed under och även alla . Därmed är determinanten av lika med produkten av determinanten av på respektive , för alla . Vi vet även att är det enda egenvärdet till på eftersom på annars inte hade varit nilpotent, och vi vet även att inte är ett egenvärde till på eftersom är inverterbar på . Detta ger att det karaktäristiska polynomet till på är eftersom alla karaktäristiska polynom kan faktoriseras till linjära faktorer, alltså är . Vi vet även att är disjunkt med spannet av alla andra , eftersom om ett nollskilt är i och i spannet av alla andra så finns s.a. och Den sista ekvationen gäller eftersom om är i spannet av alla för så är alltså en summa av en vektor från varje och eftersom alla är invarianta under alla kommer varje döda termen från . Men eftersom även är invariant under alla betyder ovanstående produkt att det finns något nollskilt och s.a. , men det betyder att är ett egenvärde till på , vilket är en motsägelse. Därmed vet vi att är en direkt summa, alltså är I denna sats är alltså alla de generaliserade egenrummen, så vi ser här att det mycket riktigt alltid finns en bas av generaliserade egenvektorer. Det sista steget i Jordans normalform är att välja denna bas på ett sätt som gör matrisen allra enklast. Detta görs ofta genom att för varje generaliserat egenrum hitta så kallade jordankedjor av basvektorer på formen för något .
Beviset kommer härifrån.Sats: Kedjeuppdelning med nilpotent operator Om är linjär och nilpotent så finns en bas till på formen för något och några , sådana att för alla . Bevis: Vi använder induktion på . Om så är satsen uppenbarligen sann (tomma mängden är bas). Den är också uppenbarligen sann om , eftersom godtycklig bas till då fungerar. Annars, om och , så vet vi att eftersom om så är inte nilpotent. Vårt induktionsantagande är därmed att satsen är sann för restriktionen av till . Då finns alltså ett samt och s.a. är en bas för , där för alla . För alla kan vi då välja s.a. . Vi vet då att innehåller de linjärt oberoende vektorerna , alltså kan vi utvidga dessa till en bas av genom tillägg av vektorer . Vi vill nu visa att är en bas för . För att visa linjärt oberoende, antag att Genom att applicera på båda led får vi alltså är för alla och eftersom alla vektorer i denna summa är linjärt oberoende. Kvar får vi då
vilket ger att resten av konstanterna är eftersom vi sa att dessa utgör en bas för . Alltså är vår mängd linjärt oberoende. Med DimensionssatsenDimensionssatsen visar vi enkelt att de även spänner upp hela ; eftersom vi vet att och att får vi att vilket är antalet vektorer i vår mängd, alltså är det en bas. Om vi applicerar dessa två satser får vi alltså matrisen på Jordans normalform, alltså på diagonalblockform där varje block har ett egenvärde längs hela diagonalen och ettor över varje diagonalelement.Från beviset framgår även en rekursiv algoritm för att hitta en bas på formen från satsen:Metod: Hitta Jordans normalform för nilpotenta operatorer Om , välj en godtycklig bas för . Annars, använd algoritmen på restriktionen av till för att få en bas på formen Hitta sedan s.a. . Utvidga sedan till en bas av genom tillägg av . Då är en bas för på den efterfrågade formen. Vi kan nu använda dessa satser och metoden ovan för att hitta Jordans normalform i den allmänna fallet.
Metod: Hitta Jordans normalform Hitta egenvärdena till med algebraiska multipliciteter . För alla : Hitta en bas till det generaliserade egenrummet . Använd sedan metoden för nilpotenta operatorermetoden för nilpotenta operatorer på operatorn och rummet för att ta fram en Jordanbas till . Samtliga Jordanbaser till utgör tillsammans en Jordanbas för . ]]>matematik/linjär-algebra/jordans-normalform.htmlMatematik/Linjär algebra/Jordans Normalform.mdThu, 02 Jan 2025 21:33:32 GMT#matematik/linjär-algebra
Definition: Minimalpolynom Givet en Linjär operatorLinjär operator där är ändligdimensionellt så är minimalpolynomet för polynomet av lägsta grad och med ledande koefficient som uppfyller att Sats: Unikt minimalpolynom finns alltid Om är linjär och är ändligdimensionellt så har ett unikt minimalpolynom . Bevis: Vi kan bilda en linjär avbildning så att och vi vet då att eftersom är oändligdimensionellt medan inte är det. Det finns en lägsta grad som förekommer i , och endast ett polynom av den graden har ledande koefficient eftersom om och båda är av den lägsta graden och har ledande koefficient så har polynomet lägre grad än den lägsta graden och måste då vara nollpolynomet, alltså är . Vi kan definiera allt på precis samma sätt för matriser istället, så alla matriser har alltså ett minimalpolynom s.a. .Sats: Egenvärden är rötter till minimalpolynomet Om är linjär med minimalpolynom och är en egenvektor till med egenvärde så är Bevis: Vi vet att vilket ger att eftersom . Sats: Minimalpolynomet delar alla polynom i Om är linjär med minimalpolynom och är ett polynom s.a. så är en faktor i . Bevis: Med polynomdivision vet vi att för polynom där eller . Vi får då att alltså är vilket ger att eftersom har lägre grad än minimalpolynomet.
Vi vill nu visa Cayley-Hamiltons sats, som säger att om är det karakteristiska polynomet till en matris så är . Det är ett icketrivialt bevis, så vi delar upp det i några lemman. Beviset kommer härifrån.
Lemma: Om med Karakteristiskt polynomKarakteristiskt polynom och det finns en vektor s.a. är en bas till , så är . Bevis: Det finns då alltså med s.a. I ovanstående bas blir matrisen för vilket ger det karaktäristiska polynomet (upp till ett teckenbyte) Detta verifieras enkelt genom att skriva ut . Vi har alltså att enligt första ekvationen, vilket ger att för alla , alltså avbildar alla basvektorer på , alltså är . Lemma: Om är en blockmatris s.a. och så är . Bevis: Eftersom determinanten av en sådan övertriangulär blockmatris är produkten av determinanterna av diagonalblocken och får vi att , vilket ger att Cayley-Hamiltons sats Om med karakteristiskt polynom så är . Bevis:
Vi använder induktion på . Om så är satsen uppenbart sann. Nu om så kan vi välja ett nollskilt och hitta det minsta s.a. är linjärt beroende. Vi vet att eftersom . Om så är vi klara enligt LemmaLemma. Annars kan vi utvidga till en bas av , och då blir m.a.p denna bas blockdiagonal på formen där är av storlek eftersom vi visste att de första basvektorerna avbildas på varandra, och den :e basvektorn avbildas på en linjärkombination av de första. Därmed är av storlek vilket är mindre än eftersom , så enligt vårt induktionsantagande är då alltså och vilket enligt LemmaLemma medför att . ]]>matematik/linjär-algebra/minimalpolynom.htmlMatematik/Linjär algebra/Minimalpolynom.mdTue, 31 Dec 2024 09:55:47 GMT#matematik/linjär-algebra
Den Inre produktenInre produkten ger oss ett mått på både längd och vinklar. Vi börjar med längd.Definition: Norm Om där är ett inre produktrum så ges normen av av Här ser vi en anledning att definiera inre produkten som positivt definit: roten är alltid definierad och endast nollvektorn har norm , vilket är geometriskt intuitivt.Men för att normen ska ge en metrik (alltså för att ett inre produktrum ska vara ett s.k. metriskt rum) måste den även uppfylla triangelolikheten (triangelolikheten är med i definitionen av ett metriskt rum), och det behöver vi först Cauchy-Schwarz olikhet för.Sats: Cauchy-Schwarz olikhet Om där är ett inre produktrum så är med likhet om och endast om och är linjärt beroende. Bevis: Om någon av och är noll så är satsen uppenbar. Antag därför att . Vi får då att vilket ger att Om och är linjärt beroende så är för något , alltså är Triangelolikheten Om där är ett inre produktrum så är Bevis: Vi får att enligt Cauchy-Schwarz olikhet. Vi har alltså nu visat att inre produktrum är metriska rum. Om kroppen är definierar vi även vinklar.Definition: Vinkel Om är ett inre produktrum på , samt och så är vinkeln mellan och vinkeln som uppfyller ]]>matematik/linjär-algebra/norm-och-vinklar.htmlMatematik/Linjär algebra/Norm och vinklar.mdMon, 30 Dec 2024 22:33:49 GMT#matematik/linjär-algebra Ett sätt att kombinera två vektorrum och är genom en direkt summa. Vi kan se direkta summor som att bilda ett nytt vektorrum vars vektorer är par av vektorer från respektive , där vi utför addition och skalärmultiplikation komponentvis.Definition: Yttre direkt summa Den yttre direkta summan av två vektorrum och är ett vektorrum s.a. där för alla , och . Om och är delrum till något gemensamt vektorrum så är addition där och definierat. Vi inför då även summan av delrummen.Definition: Summa av delrum Summan av två delrum och av ett gemensamt vektorrum är ett delrum s.a. Om nu och är delrum sådana att varje vektor kan skrivas på ett unikt sätt som för något och så kan vi se det som att varje vektor i innehåller informationen av en vektor i och en vektor i . Detta liknar den yttre direkta summan väldigt mycket, och vi kallar då summan för en inre direkt summa eller bara direkt summa och skriver även för att beteckna den inre direkta summan.Definition: Inre direkt summa Om och är delrum av ett gemensamt vektorrum och om varje vektor kan skrivas på ett unikt sätt som för något och så kallar vi summan för en inre direkt summa och skriver för att indikera att summan är direkt. Anmärkning: kan beteckna antingen inre eller yttre direkt summa När skrivs är det alltså inte alltid viktigt om det är en yttre eller inre direkt summa som avses, eftersom dessa i någon mening innehåller precis samma information, och därför kan ses som samma sak. Om däremot och inte är delrum av något gemensamt vektorrum så avses alltid den yttre direkta summan. Med definitionen vi givit nu är det inte uppenbart hur vi avgör om är en direkt summa eller inte. Som tur är finns ett lätt sätt att kontrollera det.Sats: direkt Om och är delrum av ett gemensamt vektorrum så är en direkt summa om och endast om . Bevis: Vi visar först . Antag alltså att är en direkt summa, och antag att . Då är , alltså är som en summa av en vektor i och en i . Eftersom alltid uppfyller detta och denna summa ska vara unik måste alltså , alltså är . Nu visar vi . Antag alltså att , och antag att för några och . Då är , vilket implicerar att eftersom de är additiva inverser av varandra. Detta ger att , alltså är och vilket ger att alla är unikt bestämda som en summa . Nu tillbaka till världen där vi betraktar den inre och yttre direkta summan som samma sak. I följande sats används den yttre direkta summan i beviset, men satsen gäller alltså för både yttre on inre direkta summor.Sats: Om och är ändligdimensionella så är Bevis: Givet baser och för respektive får vi att är en bas för eftersom varje vektor ]]>matematik/linjär-algebra/direkta-summor.htmlMatematik/Linjär algebra/Direkta summor.mdMon, 30 Dec 2024 17:43:43 GMT#matematik/linjär-algebra
Med SingulärvärdesuppdelningSingulärvärdesuppdelning kan vi introducera en slags pseudoinvers av matriser. Vi vill såklart att om en matris är inverterbar så ska pseudoinversen vara inversen, och annars i någon mening approximera en invers.Definition: Moore-Penrose-invers Om är en ändlig matris med tal i eller och är singulärvärdesuppdelningen av så är Moore-Penrose-inversen av matrisen där är fast varje nollskilt element har ersatts med . ]]>matematik/linjär-algebra/moore-penrose-inversen.htmlMatematik/Linjär algebra/Moore-Penrose-inversen.mdMon, 30 Dec 2024 16:43:55 GMT#matematik/linjär-algebra Definition: Dual avbildning Om är linjär så är den duala avbildningen en linjär avbildning som ges av
Sats: Transponatet beskriver den duala avbildningen Om är linjär och är matrisen för m.a.p godtyckliga baser och för respektive , och om det finns Duala baserDuala baser och , så är matrisen för den duala avbildningen m.a.p de duala baserna. Bevis: Låt och låt vara matrisen för m.a.p de duala baserna. Vi vet då att alltså är . ]]>matematik/linjär-algebra/duala-avbildningar.htmlMatematik/Linjär algebra/Duala avbildningar.mdMon, 30 Dec 2024 13:03:26 GMT#matematik/linjär-algebra
(Inspirerat av denna bok)
Att en Linjär operatorLinjär operator i någon mening är noll är ju intuitivt motsatsen till att den är inverterbar. Vi vet ju dock att bara för att en operator inte är nolloperatorn behöver den inte vara inverterbar. Till exempel, om som Inre direkt summaInre direkt summa så kan ju vara inverterbar på och noll på .Då kan vi nu fråga oss om alla operatorer går att dela upp i en inverterbar och en nolloperator på det sättet. Och vi kan ganska enkelt komma fram till att nej, det går inte alltid. Vi kan ju till exempel avbilda en basvektor på en annan basvektor , som i sin tur avbildas på . För att få med det här slags fallet måste vi alltså bredda vår bild av vad som menas med att en operator "i någon mening" är noll. Vi inför därför begreppet nilpotent operator, som är en operator s.a. någon potens av är nolloperatorn, det vill säga att bara vi applicerar tillräckligt många gånger får vi alltid noll. I vårt senaste exempel skulle alltså på vara nilpotent.Definition: Nilpotent operator Om är linjär och för något så kallas nilpotent. Uppenbarligen är nilpotenta operatorer inte inverterbara eftersom då också hade varit inverterbar. Och precis som innan kan vi tyvärr fortfarande inte säga att en godtycklig operator antingen är inverterbar eller nilpotent, eftersom om så kan vara inverterbar på och nilpotent på . Men då kan vi nu precis som innan fråga oss om alla operator går att dela upp i en inverterbar och en nilpotent operator på det sättet. Och om är ändligdimensionellt så visar det sig att ja, det går faktiskt alltid! Sats: Operatorer kan delas upp unikt i en inverterbar och en nilpotent operator Om är linjär och är ändligdimensionellt så finns unika delrum så att , samt så att restriktionen av till är inverterbar, och så att restriktionen av till är nilpotent. Bevis: Vi börjar med att betrakta nollrummen . Uppenbarligen är eftersom om så är för alla . Vi märker sedan att om för något så är som vi ser snabbt eftersom
alltså är vilket ger att . Eftersom är ändligdimensionellt så kan inte nollrummen fortsätta växa för evigt, alltså finns ett minsta s.a. . Vi vet att är invariant under eftersom . Vi låter nu och vet då att , alltså är invariant under . Vårt mål nu är att visa att samt att är inverterbar på samt nilpotent på . Om så är alltså och så finns ett s.a. . Detta ger att , vilket ger att eftersom per vår definition av så är . Vi har alltså att , alltså är en direkt summa. Från DimensionssatsenDimensionssatsen samt denna satsdenna sats följer då även att vilket ger att . Från definitionen av och följer att på är nilpotent med exponent . Slutligen om och så är , alltså är , men , så , alltså är inverterbar på . Slutligen visar vi att denna uppdelning är unik. Antag därför att är delrum till sådana att och sådana att på är inverterbar och på är nilpotent. Vi vet då att för alla , alltså är , och vi vet även att för något , alltså är . Detta ger att och . ]]>matematik/linjär-algebra/nilpotenta-operatorer.htmlMatematik/Linjär algebra/Nilpotenta operatorer.mdFri, 27 Dec 2024 12:51:26 GMT#matematik/linjär-algebra
Yttre potenser är TensorerTensorer med en liten twist. Med tensorer studerar vi alla Multilinjära avbildningarMultilinjära avbildningar, medan med yttre potenser studerar vi endast Alternerande avbildningarAlternerande avbildningar. Dessa liknar Alternerande tensorerAlternerande tensorer och de kan egentligen definieras utifrån varandra. Men vi ger ändå yttre potenser en egen definition utifrån dess universella egenskap, som liknar tensorproduktens universella egenskap väldigt mycket.Definition: Yttre potensen En yttre potensen av grad av ett vektorrum är ett vektorrum tillsammans med en alternerande -multilinjär avbildning , så att det för alla vektorrum och alla alternerande -multilinjära avbildningar finns en unik linjär avbildning sådan att , det vill sägaför alla . Vi får en del egenskaper som är mer eller mindre samma som för tensorer, så vi upprepar inte bevisen i de fallen.Sats: spänner upp . Om och är vektorrum och är en yttre potens av grad av så är
Bevis: se TensorerTensorer.
Sats: Yttre potensen är unik upp till unik isomorfi Om samt är möjliga yttre potenser av grad av så finns en unik isomorfi mellan och . Bevis: se TensorerTensorer. Nu kan vi precis som med tensorer införa en bas till för att dels visa existens och dels för att göra livet lättare. Beviset liknar återigen motsvarigheten för tensorer en del, men vi skriver ut det ändå.Sats: Yttre potens med bas Låt vara en bas för , låt vara ett vektorrum och låt vara -multilinjär och alternerande. Då är en yttre potens av grad av om och endast om är en bas för . Bevis: Vi börjar med att visa . Antag alltså att är en yttre potens av grad av . Givet finns då tal och så att alltså spänner alla upp . Däremot är dessa inte linjärt oberoende eftersom är alternerande. Vi vet att vi kan sortera index med ett ändligt antal platsbyten, alltså skiljer alla permuteringar varandra av som mest ett teckenbyte. Därmed spänner upp alla , vilket alltså spänner upp . För att visa linjärt oberoende utnyttjar vi att en alternerande -multilinjär avbildning bestäms entydigt av alla för alla . Vi kan därmed välja och så att alla är linjärt oberoende. Det ger att alla är linjärt oberoende, vilket medför att alla är linjärt oberoende, alltså är en bas för . Vi visar nu . Antag alltså att är en bas för . Givet en alternerande -multilinjär avbildning vet vi då att den motsvarande linjära avbildningen unikt måste bestämmas av att för alla . Då gäller att för alla , alltså är och är unikt bestämd, så mycket riktigt är en yttre potens av grad av . Från detta följer att om är ändligdimensionellt så är eftersom det är så många olika uppsättningar index som finns.]]>matematik/linjär-algebra/yttre-potenser.htmlMatematik/Linjär algebra/Yttre potenser.mdFri, 27 Dec 2024 12:51:26 GMT#matematik/linjär-algebra
Definition: Hilbertrum Ett Hilbertrum är ett fullständigtfullständigt inre produktrum. Till exempel är alla och hilbertrum. Vi tar även upp två andra viktiga.Definition: Om kroppen eller så definierar vi Hilbertrummet med inre produkt Sats: är väldefinierad är väldefinierad, alltså ett Hilbertrum. Bevis: För godtyckliga så är och vi får att , alltså är summan och inre produkten väldefinierad. Kvar är att visa att alla Cauchyföljder konvergerar. Låt vara en Cauchyföljd av följder från . Bilda sedan för alla följden . Denna följd är en Cauchyföljd av tal från eftersom följden av följder är en Cauchyföljd. Eftersom vi vet att är fullständigt ( eller ) så vet vi att varje sådan talföljd konvergerar mot något . Bilda därmed följden . Vi får då att eftersom varje term i går att få godtyckligt litet, så vi kan tvinga serien till att konvergera till ett godtyckligt litet tal. Definition: Funktionsrummet Börja med rummet med inre produkt . Låt sedan och låt Bilda sedan kvoten med . Detta är dock inte en inre produkt så låt sedan även och bilda slutligen funktionsrummet . Denna definition kräver dessa jobbiga kvoter eftersom, för det första, när vi tar vektorrummet av kontinuerliga funktioner så finns följder av funktioner vars gränsvärde inte är en kontinuerlig funktion; till exempel kan man tänka sig en följd av funktioner där lutningen i någon punkt ökar och går mot , så att gränsvärdesfunktionen har ett hopp i den punkten. För det andra, när vi även tagit med dessa gränsvärdesfunktioner så har vi inte längre en inre produkt eftersom det finns gränsvärdesfunktioner som är nollskild på en nollmängd och därmed har norm men inte är noll, vilket bryter mot kravet att inre produkten är positivt definit. Därmed kvotar vi till sist bort dessa funktioner som bör betraktas som noll.Definition: Ortogonal bas i Hilbertrum En ortogonal bas i ett Hilbertrum är ortogonal mängd vektorer så att det för alla finns tal så att serien konvergerar mot .
Precis som i fallet med "vanliga" ortogonala baser"vanliga" ortogonala baser kan vi få fram talen enligt ]]>matematik/linjär-algebra/hilbertrum.htmlMatematik/Linjär algebra/Hilbertrum.mdSat, 21 Dec 2024 21:57:13 GMT#matematik/linjär-algebra
Två DiagonaliserbaraDiagonaliserbara Linjära operatorerLinjära operatorer kan såklart ha samma egenvektor men med olika egenvärden för den egenvektorn. och behöver alltså inte vara lika men kan fortfarande ha en gemensam egenbas, och blir då diagonalmatriser m.a.p samma bas, vilket såklart kan underlätta för beräkningar.Definition: Samtidig diagonalisering Om är linjära och diagonaliserbara samt har en gemensam egenbas så kallas de samtidigt diagonaliserbara. Med denna definition låter det svårt att avgöra huruvida två operatorer är samtidigt diagonaliserbara, men som tur är finns ett enkelt kriterium.Sats: Samtidigt diagonaliserbara diagonaliserbara och kommuterar Om är linjära så är och samtidigt diagonaliserbara om och endast om och är diagonaliserbara och . Bevis: Om och är samtidigt diagonaliserbara med egenbas så är för alla , alltså är . Om istället vet vi först att det finns egenrum till så att och att om så är Vi vet att alla baser till som är unioner av baser till varje är en egenbas till , så om varje restriktion av till är diagonaliserbar kan vi för varje välja en bas till av egenvektorer till , vilket skapar en gemensam egenbas till och . Betrakta därför restriktionen av till . Vi vet då att varje kan skrivas som där alla är egenvektorer till unika egenvärden. Detta ger att för alla , eftersom alla för dödas av och bara skaleras av alla . Därmed är alla eftersom och är invariant under alla vilket ger att på är diagonaliserbar. ]]>matematik/linjär-algebra/samtidig-diagonalisering.htmlMatematik/Linjär algebra/Samtidig diagonalisering.mdThu, 19 Dec 2024 22:45:51 GMT#matematik/linjär-algebra
Säg att vi har en Linjär operatorLinjär operator . Då är det ju möjligt att för vissa vektorer bara motsvarar en skalering, så att för något och . Det visar sig att sådana vektorer är väldigt användbara, så ger vi därför namnet egenvektor och skalären namnet egenvärde.Definition: Egenvärde, egenvektor Om är linjär och det finns och så att och så kallas en egenvektor med motsvarande egenvärde om Vi märker att om vi kan hitta en bas till som enbart består av egenvektorer till så blir matrisen till med avseende på den basen en diagonalmatris, alltså en matris där endast diagonalelementen kan vara nollskilda.Definition: Diagonaliserbarhet Om är linjär och det finns en bas till som enbart består av egenvektorer till så kallas diagonaliserbar. ]]>matematik/linjär-algebra/egenvärden-och-egenvektorer.htmlMatematik/Linjär algebra/Egenvärden och egenvektorer.mdThu, 19 Dec 2024 15:52:20 GMT#matematik/linjär-algebra
Om vi kan hitta en bas till som enbart består av EgenvektorerEgenvektorer till någon Linjär operatorLinjär operator så kan vi skriva som en diagonalmatris. Och diagonalmatriser är ju väldigt trevliga att jobba med eftersom de är enkla att multiplicera med. Vi skulle ju då vilja ha en metod för att hitta egenvärden, egenvektorer och slutligen en bas av egenvektorer. Detta leder oss till det karakteristiska polynomet av en matris.Definition: Karakteristiskt polynom Det karakteristiska polynomet av en matris är polynomet Det karakteristiska polynomet av en linjär operator är det karakteristiska polynomet för där är godtycklig bas för . Om är en kvadratisk matris eller linjär operator så betecknar det karaktäristiska polynomet för , om inte annat sagts. Vi noterar för det första att vi inte definierar detta i det oändligdimensionella fallet eftersom polynom måste ha ett ändligt antal termer. Vi behöver även visa att det karakteristiska polynomet för en linjär operator är väldefinierat, så att det inte beror av basen .Sats: Karakteristiska polynomet är oberoende av bas Om är linjär och är baser för så är det karakteristiska polynomet för samma som för . Bevis: Vi vet att för någon basbytesmatris . Därmed är Nu ser vi sedan att vi med det karakteristiska polynomet kan hitta egenvärdena till en linjär operator .Sats: Egenvärdena är rötterna till karakteristiska polynomet Om med matris m.a.p någon bas och är det karakteristiska polynomet till så är egenvärdena till precis rötterna till . Bevis: Vi har att för något om och endast om , om och endast om det finns nollskilda lösningar till ]]>matematik/linjär-algebra/karakteristiska-polynom.htmlMatematik/Linjär algebra/Karakteristiska polynom.mdWed, 18 Dec 2024 09:17:55 GMT#matematik/linjär-algebra Definition: Linjär avbildning En avbildning kallas linjär om den respekterar addition och skalärmultiplikation, d.v.s om eller ekvivalent om för alla och . Om kallas en linjär operator eller bara operator. ]]>matematik/linjär-algebra/linjära-avbildningar.htmlMatematik/Linjär algebra/Linjära avbildningar.mdTue, 17 Dec 2024 13:16:23 GMT#matematik/linjär-algebra
Definition: Multilinjär avbildning En avbildning där och är vektorrum kallas -multilinjär eller bara multilinjär om är LinjärLinjär i varje argument, alltså om som funktion av är linjär. En -multilinjär funktion kallas bilinjär. Exempel Multiplikation i en kropp är -multilinjärt, alltså bilinjärt, eftersom
Allmänt brukar avbildningar som vi mer eller mindre kallar för produkter vara bilinjära, som matrismultiplikation eller TensorproduktTensorprodukt. ]]>matematik/linjär-algebra/multilinjära-avbildningar.htmlMatematik/Linjär algebra/Multilinjära avbildningar.mdTue, 17 Dec 2024 11:22:01 GMT#matematik/linjär-algebra
Vi kan införa en multiplikation av Yttre potenserYttre potenser av olika grader enligt följande.Definition: Multiplikation av yttre potenser Vi definierar multiplikation enligt När vi nu alltså räknar med yttre potenser av olika storlek är det rimligt att samla alla dessa i ett gemensamt vektorrum som med denna bilinjära multiplikation alltså blir en algebra som vi kallar för den yttre algebran av .Definition: Yttre algebran Den yttre algebran av ett vektorrum med bas är ett en algebra med vektorrum som ges av
och multiplikation som ges av Definition: Multiplikation av yttre potenserDefinition: Multiplikation av yttre potenser. Vi noterar här att om är ändligdimensionellt så är , samt att om , där betecknar vektorrummet med bara nollvektorn. Vi får även att ]]>matematik/linjär-algebra/yttre-algebran.htmlMatematik/Linjär algebra/Yttre algebran.mdMon, 16 Dec 2024 18:17:39 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/13.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/13.mdWed, 11 Mar 2026 20:39:10 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/10.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/10.mdWed, 11 Mar 2026 13:22:14 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/4.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/4.mdWed, 11 Mar 2026 09:09:27 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/6.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/6.mdTue, 10 Mar 2026 10:30:30 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/12.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/12.mdWed, 04 Mar 2026 09:00:35 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/17.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/17.mdMon, 02 Mar 2026 14:17:53 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/16.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/16.mdMon, 02 Mar 2026 14:01:00 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/15.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/15.mdMon, 02 Mar 2026 13:25:39 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/14.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/14.mdMon, 02 Mar 2026 12:37:14 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/11.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/11.mdMon, 02 Mar 2026 08:30:17 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/9.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/9.mdTue, 24 Feb 2026 09:53:08 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/8.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/8.mdMon, 23 Feb 2026 11:08:03 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/7.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/7.mdMon, 23 Feb 2026 10:51:11 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/5.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/5.mdFri, 20 Feb 2026 11:48:12 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/3.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/3.mdFri, 20 Feb 2026 10:06:23 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/2.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/2.mdFri, 20 Feb 2026 09:16:57 GMTmatematik/partial-differential-equations/instuderingsfrågor/1.htmlMatematik/Partial differential equations/Instuderingsfrågor/1.mdFri, 20 Feb 2026 09:16:38 GMTmatematik/optimization/canvas-test.htmlMatematik/Optimization/canvas test.canvasWed, 07 Jan 2026 23:04:16 GMTLinjär algebraLinjär algebra
Discrete mathematicsDiscrete mathematics
Groups and rings, LecturesGroups and rings, Lectures
OptimizationOptimization ]]>anteckningar.htmlAnteckningar.mdMon, 29 Dec 2025 15:32:28 GMTjsxgraph-test.htmlJSXGraph test.mdFri, 17 Oct 2025 16:58:11 GMTkladd.htmlKladd.mdFri, 17 Oct 2025 16:51:00 GMTkladd-katex-4.htmlKladd katex 4.mdFri, 17 Oct 2025 15:25:16 GMTjsxgraph-test.htmljsxgraph test.htmlFri, 17 Oct 2025 14:05:49 GMTkladd-katex-3.htmlKladd katex 3.mdFri, 17 Oct 2025 14:07:23 GMTkladd-katex-1.htmlKladd katex 1.mdFri, 17 Oct 2025 11:45:55 GMTkladd-katex-2.htmlKladd katex 2.mdFri, 17 Oct 2025 11:34:15 GMTfysik/reglerteknik/inför-tenta.htmlFysik/Reglerteknik/Inför tenta.mdSun, 12 Oct 2025 09:35:46 GMTfysik/reglerteknik/8.9-styrbarhet-och-observerbarhet.htmlFysik/Reglerteknik/8.9 - Styrbarhet och observerbarhet.mdWed, 01 Oct 2025 11:11:34 GMTfysik/reglerteknik/kladd.htmlFysik/Reglerteknik/Kladd.mdTue, 30 Sep 2025 11:36:51 GMTNyquistkriteriet. Nu översätter vi bara det till Bodediagram.Vi antar först att ett visst Nyquistdiagram inte omsluter , samt att kurvan skär enhetscirkeln i precis en punkt. Vi låter beteckna vinkeln mellan den negativa reella axeln och denna punkt. Att inte omsluts betyder alltså att . Vi låter även beteckna det inversa avståndet till punkten där kurvan skär den negativa reella axeln, som vi även antar sker på endast en punkt. Att inte omsluts betyder då alltså att .Att Nyquistkurvan skär enhetscirkeln betyder att , och vi kallar den vinkelnfrekvensen för skärfrekvensen. blir ett mått på hur mycket faskurvan kan förskjutas utan att systemet blir instabilt, och kallas därför fasmarginal. kan avläsas i ett Bodediagram som argumentkurvans avstånd till vid .På samma sätt blir ett mått på hur mycket amplitudkurvan kan höjas utan att systemet blir instabilt, och kallas därför amplitudmarginal eller förstärkningsmarginal. Den kan avläsas i ett Bodediagram logaritmiskt som avståndet till , eftersom .Vi kallar frekvensen där argumentkurvan skär , alltså där Nyquistkurvan skär den negativa reella axeln, för fas-skärfrekvensen.Bodediagrammet ger oss en intuitiv tolkning av Nyquistkriteriet. Tag ett öppet system med insignalen , och antag att den är precis på stabilitetsgränsen, så att och . Då har vi alltså att , alltså och . Detta ger Men om vi istället tittar på det slutna systemet utan insignal blir ju då insignalen densamma, alltså kan det slutna systemet självsvänga i det här läget. Om vi tar ett litet steg mot stabilitet är det ju då intuitivt att svängingarna dör ut, medan om vi tar ett litet steg ifrån stabilitet så amplifieras dessa svängningar mot oändligheten. Detta resonemang gäller dock förstås bara för diagram där de antaganden vi gjort gäller, d.v.s att kurvan endast skär den reella axeln och enhetscirkeln en gång.]]>fysik/reglerteknik/5.1-5.2-kretsförstärkning-och-stabilitet.htmlFysik/Reglerteknik/5.1-5.2 - Kretsförstärkning och stabilitet.mdMon, 29 Sep 2025 13:51:45 GMTfysik/reglerteknik/5.3-specifikationer-i-frekvensplanet.htmlFysik/Reglerteknik/5.3 - Specifikationer i frekvensplanet.mdSun, 14 Sep 2025 07:56:14 GMTfysik/reglerteknik/8.7-lösning-av-tillståndsekvationerna.htmlFysik/Reglerteknik/8.7 - Lösning av tillståndsekvationerna.mdFri, 12 Sep 2025 08:56:15 GMTfysik/reglerteknik/8.6-att-gå-från-tillståndsform-till-överföringsfunktion.htmlFysik/Reglerteknik/8.6 - Att gå från tillståndsform till överföringsfunktion.mdFri, 12 Sep 2025 08:56:07 GMT ^28155d" data-href="8.1-8.4 - Tillståndsbeskrivning#^28155d" href="fysik/reglerteknik/8.1-8.4-tillståndsbeskrivning.html#^28155d" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">tillståndsformtillståndsform på olika sätt.Om överföringsfunktionen kan partialbråkuppdelas i termer av formen så får vi alltså och inför som alltså betyder blir då uppenbarligen en diagonalmatris, därav namnet.Idén här är att om vi väljer och väljer alltså så får vi Denna form blir På liknande sätt får man formen Om gradtalet i täljaren är samma som i nämnaren så kan en konstant brytas ut så att och sedan lösas på något av de tidigare sätten.]]>fysik/reglerteknik/8.5-att-gå-från-överföringsfunktion-till-tillståndsform.htmlFysik/Reglerteknik/8.5 - Att gå från överföringsfunktion till tillståndsform.mdFri, 12 Sep 2025 08:49:08 GMTfysik/reglerteknik/8.1-8.4-tillståndsbeskrivning.htmlFysik/Reglerteknik/8.1-8.4 - Tillståndsbeskrivning.mdFri, 12 Sep 2025 08:18:29 GMTfysik/reglerteknik/6.5-en-allmän-linjär-återkoppling.htmlFysik/Reglerteknik/6.5 - En allmän linjär återkoppling.mdWed, 10 Sep 2025 08:16:41 GMTfysik/reglerteknik/6.4-modellfel-och-känslighetsfunktionen.htmlFysik/Reglerteknik/6.4 - Modellfel och känslighetsfunktionen.mdWed, 10 Sep 2025 08:08:24 GMT ^de6532" data-href="6.2 - Att minimera känslighetsfunktionen#^de6532" href="fysik/reglerteknik/6.2-att-minimera-känslighetsfunktionen.html#^de6532" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">den komplementära känslighetsfunktionenden komplementära känslighetsfunktionen. Om vi alltså skulle kräva att för alla så nås aldrig stabilitetsgränsen och det slutna systemet förblir stabilt när ersätts med . Detta kan visas mer formellt och kallas Rouchés sats.Sats: Robusthetskriterium Låt vara en återkoppling som stabiliserar en modell . Antag att det verkliga systemet är enligt tidigare. Antag att och har samma antal poler i höger halvplan (origo inräknat), samt att och båda går mot noll när går mot oändligheten. Antag slutligen att för alla . Då är även det slutna system som erhålls då återkopplas med stabilt. Vi använder begreppet robusthet för att beskriva en tolerans mot modellfel. Mer specifikt stabilitetsrobusthet när vi bryr oss om modellfelets påverkan på stabilitet.]]>fysik/reglerteknik/6.3-robusthet-gentemot-instabilitet.htmlFysik/Reglerteknik/6.3 - Robusthet gentemot instabilitet.mdWed, 10 Sep 2025 08:02:04 GMTfysik/reglerteknik/6.2-att-minimera-känslighetsfunktionen.htmlFysik/Reglerteknik/6.2 - Att minimera känslighetsfunktionen.mdWed, 10 Sep 2025 07:56:04 GMTfysik/reglerteknik/5.5-tidsfördröjningar-och-bodediagram.htmlFysik/Reglerteknik/5.5 - Tidsfördröjningar och Bodediagram.mdTue, 09 Sep 2025 09:22:45 GMTfysik/reglerteknik/5.4-kompensering-med-hjälp-av-bodediagram.htmlFysik/Reglerteknik/5.4 - Kompensering med hjälp av Bodediagram.mdTue, 09 Sep 2025 09:19:50 GMT3.5 - Det återkopplade systemet3.5 - Det återkopplade systemet kan vi beskriva en ideal följning av referenssignalen som att , och en perfekt undertryckning av störningar som att . Detta kan sällan uppnås, så vi undersöker här sätt att beskriva hur långt från idealt vårt system är.Vi börjar med vårt vanliga reglerfel , I specialfallet gäller och alltså Känslighetsfunktionen spelar alltså stor roll. Vi förutsätter att alla poler till det återkopplade systemet har negativ realdel, och får då att blir en insignal-utsignalstabil överföringsfunktion. Eftersom och har samma verkan sätter vi för enkelhetens skull .Om referenssignalen är ett steg med amplituden fås och slutvärdessatsen ger då Om ska gå mot när måste alltså . Om innehåller en ren integration, så uppnås detta. Vi antar att är på denna form och undersöker nu felet vid en ramp; tag , d.v.s . Då får vi Detta blir alltså mindre ju mindre är och försvinner om . Om innehåller två integrationer, d.v.s så uppnås detta. Vi kan då ta vilket ger Talen kallas felkoefficienter. De kan även ses som koefficienter i en serieutveckling av : eftersom de uppfyller ]]>fysik/reglerteknik/3.6-specifikationer.htmlFysik/Reglerteknik/3.6 - Specifikationer.mdMon, 08 Sep 2025 09:46:45 GMTfysik/reglerteknik/3.5-det-återkopplade-systemet.htmlFysik/Reglerteknik/3.5 - Det återkopplade systemet.mdMon, 08 Sep 2025 09:22:48 GMTfrekvensfunktionfrekvensfunktion är ett diagram där man var för sig plottar och som funktioner av , med logaritmiska skalor för och . Kurvan som visar kallas amplitud- eller beloppskurva och den som visar kallas faskurva. Amplituden anges ofta i decibelskala (dB) som ges av Eftersom seriekoppling av system motsvarar multiplikation av frekvensfunktioner motsvarar detta helt enkelt addition av Bodediagram, eftersom logskala gör om multiplikation till addition, och argumentet likaså. Det följer på samma sätt att potenser av blir räta linjer. Detta ger oss information från asymptoterna i Bodediagrammen av rationella funktioner. Med får vi en lågfrekvensasymptot för små , samt en högfrekvensasymptot för stora , ]]>fysik/reglerteknik/4.3-bodediagram.htmlFysik/Reglerteknik/4.3 - Bodediagram.mdFri, 05 Sep 2025 13:25:39 GMTfysik/reglerteknik/4.2-frekvenssvar-och-frekvensfunktion.htmlFysik/Reglerteknik/4.2 - Frekvenssvar och frekvensfunktion.mdFri, 05 Sep 2025 13:13:27 GMTfysik/reglerteknik/3.8-nyquistkriteriet.htmlFysik/Reglerteknik/3.8 - Nyquistkriteriet.mdMon, 01 Sep 2025 11:03:21 GMTfysik/reglerteknik/3.7-rotort.htmlFysik/Reglerteknik/3.7 - Rotort.mdMon, 01 Sep 2025 10:26:12 GMTfysik/reglerteknik/3.4-inverkan-av-återkoppling-på-olinjäriteter.htmlFysik/Reglerteknik/3.4 - Inverkan av återkoppling på olinjäriteter.mdMon, 01 Sep 2025 08:14:59 GMTfysik/reglerteknik/3.2-reglering-av-nivå-i-vattentank.htmlFysik/Reglerteknik/3.2 - Reglering av nivå i vattentank.mdMon, 01 Sep 2025 08:03:31 GMTfysik/reglerteknik/ö1.htmlFysik/Reglerteknik/Ö1.mdThu, 28 Aug 2025 14:33:18 GMTfysik/reglerteknik/2.6-samband-mellan-tidssvar-och-polplacering.htmlFysik/Reglerteknik/2.6 - Samband mellan tidssvar och polplacering.mdThu, 28 Aug 2025 11:37:19 GMT ^6f40f8" data-href="2.3 - Viktfunktionen#^6f40f8" href="fysik/reglerteknik/2.3-viktfunktionen.html#^6f40f8" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">viktfunktionsformelnviktfunktionsformeln och antar att är begränsad, alltså att det finns ett s.a. för alla . Då är Om vi väljer så att får vi , vilket visar följande sats.Sats Ett system är insignal-utsignalstabilt om och endast om viktfunktionen uppfyller Detta kan ibland överföras till ett krav på polerna. Om nämnaren i har minst lika stort gradtal som täljaren så kallas proper, och om gradtalet är strikt större så kallas strikt proper. Om är strikt proper och polerna är enkla så kan partialbråksuppdelas i för några konstanter , vilket ger För system som endast är propra och eventuellt har olika multipla poler fås där varje är polynom. Detta visar följande sats.Sats Ett system med en proper överföringsfunktion är insignal-utsignalstabilt om och endast om alla poler till har strikt negativa realdelar. Med liknande resonemang kan följande sats visas.Slutvärdessatsen Om har en rationell laplacetransform och alla nollskilda poler till har strikt negativ realdel så är ]]>fysik/reglerteknik/2.5-stabilitet.htmlFysik/Reglerteknik/2.5 - Stabilitet.mdThu, 28 Aug 2025 11:24:11 GMTfysik/reglerteknik/2.3-viktfunktionen.htmlFysik/Reglerteknik/2.3 - Viktfunktionen.mdThu, 28 Aug 2025 11:00:27 GMTfysik/reglerteknik/2.1-2.2-differentialekvationer.htmlFysik/Reglerteknik/2.1-2.2 - Differentialekvationer.mdThu, 28 Aug 2025 09:06:44 GMTfysik/reglerteknik/f1-transfer-function,-poles,-zeroes,-stability.htmlFysik/Reglerteknik/F1 - Transfer function, poles, zeroes, stability.mdWed, 27 Aug 2025 07:17:35 GMTfysik/reglerteknik/ordlista.htmlFysik/Reglerteknik/Ordlista.mdWed, 27 Aug 2025 06:27:53 GMTfysik/reglerteknik/1.5-1.6-principer-för-återkoppling.htmlFysik/Reglerteknik/1.5-1.6 - Principer för återkoppling.mdTue, 26 Aug 2025 12:26:12 GMTfysik/reglerteknik/1.4-reglerprinciper.htmlFysik/Reglerteknik/1.4 - Reglerprinciper.mdMon, 25 Aug 2025 12:24:43 GMTfysik/reglerteknik/1.1-1.3-introduktion.htmlFysik/Reglerteknik/1.1-1.3 - Introduktion.mdMon, 25 Aug 2025 12:24:39 GMTConserved quantityConserved quantity. Proof: We have which means and thus the quantity evaluated at is conserved. Example: Translations Consider the system of particles, with Suppose we choose to be a translation in direction of , so that It is clear by the definition of this Lagrangian that such a constant translation leaves invariant. Hence, clearly , so this is a symmetry. Its conserved quantity becomes is just the total linear momentum, which means that the total linear momentum in the direction is preserved, and since we can choose arbitrarily, the total linear momentum is always preserved. Example: Rotations]]>fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/noether's-theorem-and-symmetries.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics/Noether's Theorem and Symmetries.mdThu, 27 Mar 2025 11:45:38 GMTA Single ParticleA Single Particle
Angular momentumAngular momentum
EnergyEnergy
The Principle of Least ActionThe Principle of Least Action
Conserved quantitiesConserved quantities
Noether's Theorem and SymmetriesNoether's Theorem and Symmetries ]]>fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics.mdThu, 27 Mar 2025 11:38:29 GMT ^7457da" data-href="The Principle of Least Action#^7457da" href="fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/the-principle-of-least-action.html#^7457da" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">Lagrange's equationsLagrange's equations. A conserved quantity is thus conserved along the path of the system.Theorem If the Lagrangian does not explicitly depend on time, i.e. , then is a conserved quantity.
Remark: When written as a function of and , is the HamiltonianHamiltonian. Proof: We get and from which it is clear that . Theorem Suppose for some . Then is said to be ignorable or cyclic, and is a conserved quantity. Proof: Clear directly from Lagrange's equations, giving ]]>fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/conserved-quantities.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics/Conserved quantities.mdThu, 27 Mar 2025 08:47:24 GMT Consider the situation above and say we want to find the angle as a function of time. We want to determine the Lagrangian . We consider to be at the top of the rope and describe the particle's coordinates by and . Its speed is then given by and thus we get its kinetic energy . We also know its potential energy is . Thus our Lagrangian is The Euler-Lagrange equation now gives us If we further assume that is small and make the approximation , and we also let , we obtain the differential equation ]]>fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/the-principle-of-least-action.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics/The Principle of Least Action.mdThu, 27 Mar 2025 08:25:10 GMT<figure><img src="."></figure>fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/energy.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics/Energy.mdMon, 24 Mar 2025 18:04:18 GMT ^a7abcd" data-href="The Principle of Least Action#^a7abcd" href="fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/the-principle-of-least-action.html#^a7abcd" class="original-internal-link" target="_self" rel="noopener nofollow" style="display: none;">LagrangianLagrangian, giving the differential equation Definition: Generalized momentum The generalized momentum of is This strongly relates to our usual definitions of momentum. By choosing we get If represents cartesian coordinates of particles, this would be our usual momentum. If instead for example represents polar coordinates, the coordinates of would contain radial and angular momentums.The generalized momentum lets us rewrite the Euler-Lagrange equation as This is a differential equation requiring initial conditions, meaning we can think of as being in a -dimensional space that we call the phase space. A single point in the phase space is thus precisely the information needed to determine the whole evolution of our model. This means that two paths in the phase space cannot cross. We call such a path a flow in the phase space.Our goal now is to rewrite the Euler-Lagrange equation in terms of only and (thus eliminating ).Definition: Hamiltonian Given a Lagrangian , the Hamiltonian is Hamiltonian equations Proof: We see that is a function of only since and we can thus invert this to get as a function of . We now get which we know is equal to , so by matching terms and using that the Euler-Lagrange equation gave us , we get the Hamiltonian equations. Example Consider a single particle moving in a potential . We have the Lagrangian giving us the generalized momentum as before. This gives us the Hamiltonian where the last step was done to eliminate . We now have the Hamiltonian equations which both are familiar equations from the Newtonian formulation. ]]>fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/the-hamiltonian-equations.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics/The Hamiltonian equations.mdMon, 24 Mar 2025 12:49:50 GMT]]>fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/mathematical_pendulum.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics/mathematical_pendulum.pngSun, 23 Mar 2025 17:10:08 GMT<figure><img src="."></figure>ParticleParticle is and the net torque acting on the particle is where is the net force acting on the particle. These measurements clearly depend heavily on where we choose the origin of our frame of reference. is in a way a measurement of "how much" the particle is spinning around the origin, and that torque is to angular momentum what force is to (linear) momentum. We see this more clearly with that Some intuitive results follow, such as if a force does not affect the angular momentum, we must have meaning meaning has to be parallel to which makes sense intuitively. Such a force is called a central force.]]>fysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/angular-momentum.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics/Angular momentum.mdSat, 22 Mar 2025 13:09:53 GMTfysik/fysik-för-teknisk-matematik/analytical-mechanics/a-single-particle.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Analytical Mechanics/A Single Particle.mdSat, 22 Mar 2025 12:44:59 GMTfysik/fysik-för-teknisk-matematik/kursplan.htmlFysik/Fysik för Teknisk Matematik/Kursplan.mdSat, 22 Mar 2025 09:56:46 GMT