Yttre potenser

#matematik/linjär-algebra

Yttre potenser är Tensorer med en liten twist. Med tensorer studerar vi alla Multilinjära avbildningar, medan med yttre potenser studerar vi endast Alternerande avbildningar. Dessa liknar Alternerande tensorer och de kan egentligen definieras utifrån varandra. Men vi ger ändå yttre potenser en egen definition utifrån dess universella egenskap, som liknar tensorproduktens universella egenskap väldigt mycket.

Definition: Yttre potensen

En yttre potensen av grad av ett vektorrum är ett vektorrum tillsammans med en alternerande -multilinjär avbildning , så att det för alla vektorrum och alla alternerande -multilinjära avbildningar finns en unik linjär avbildning sådan att , det vill sägaför alla .

Vi får en del egenskaper som är mer eller mindre samma som för tensorer, så vi upprepar inte bevisen i de fallen.

Sats: spänner upp .

Om och är vektorrum och är en yttre potens av grad av så är
Bevis: se Tensorer.

Sats: Yttre potensen är unik upp till unik isomorfi

Om samt är möjliga yttre potenser av grad av så finns en unik isomorfi mellan och .

Bevis: se Tensorer.

Nu kan vi precis som med tensorer införa en bas till för att dels visa existens och dels för att göra livet lättare. Beviset liknar återigen motsvarigheten för tensorer en del, men vi skriver ut det ändå.

Sats: Yttre potens med bas

Låt vara en bas för , låt vara ett vektorrum och låt vara -multilinjär och alternerande. Då är en yttre potens av grad av om och endast om
är en bas för .

Bevis:
Vi börjar med att visa . Antag alltså att är en yttre potens av grad av . Givet finns då tal och så att
alltså spänner alla upp . Däremot är dessa inte linjärt oberoende eftersom är alternerande. Vi vet att vi kan sortera index med ett ändligt antal platsbyten, alltså skiljer alla permuteringar varandra av som mest ett teckenbyte. Därmed spänner upp alla , vilket alltså spänner upp . För att visa linjärt oberoende utnyttjar vi att en alternerande -multilinjär avbildning bestäms entydigt av alla för alla . Vi kan därmed välja och så att alla är linjärt oberoende. Det ger att alla är linjärt oberoende, vilket medför att alla är linjärt oberoende, alltså är en bas för .

Vi visar nu . Antag alltså att är en bas för . Givet en alternerande -multilinjär avbildning vet vi då att den motsvarande linjära avbildningen unikt måste bestämmas av att
för alla . Då gäller att
för alla , alltså är och är unikt bestämd, så mycket riktigt är en yttre potens av grad av .

Från detta följer att om är ändligdimensionellt så är
eftersom det är så många olika uppsättningar index som finns.