Tensorer

#matematik/linjär-algebra

Ofta i linjär algebra stöter vi på avbildningar som inte är linjära, utan Multilinjära, d.v.s linjära i varje argument. För att notationen inte ska bli alltför överflödig betraktar vi en bilinjär avbildning . Ibland vore det bra om vi kunde "göra om" denna bilinjära avbildning till en linjär avbildning, eftersom det ändå är linjära avbildningar vi studerar i linjär algebra.

Vår strategi blir att införa ett nytt vektorrum som vi kallar , som vi vill använda som "mellanhand" mellan och . När vi genom en bilinjär avbildning går från till vill vi alltså istället gå från till , och sedan från till . Vi säger att avbildningen från till kallas och är bilinjär, och att avbildningen från till kallas och är Linjär.

Men då känns det ju faktiskt som att vi inte kommit någonstans alls; vi har bara delat upp vår bilinjära avbildning i en bilinjär och en linjär ! Men det speciella är att genom att välja vektorrummet och den bilinjära avbildningen på rätt sätt, kan vi se till att och fungerar som mellanhand för alla ! I den meningen har vi alltså överfört en bilinjär avbildning på en linjär, eftersom det enda som beror av den bilinjära avbildningen är den linjära avbildningen . Vi lägger även till kravet att ska vara unik givet , så att varje bilinjära avbildning överförs på en unik linjär avbildning. Vi kallar vektorrummet tillsammans med den bilinjära avbildningen för en tensorprodukt av och .

Anmärkning

Begreppet tensorprodukt används ganska slarvigt, men refererar alltså i sin tydligaste mening till vektorrummet tillsammans med den bilinjära avbildningen . Notera här att symbolen i inte är den bilinjära avbildningen , utan betraktas bäst bara som en symbol för ett vektorrum. För att vara tydlig kan vi alltså skriva en tensorprodukt av och som . Begreppet refererar dock ofta till endast vektorrummet , eller till en vektor i .

Men hur väljer vi då och "på rätt sätt"? Det är inte uppenbart, men vi behöver inte ge en entydig definition av vad vektorrummet och den bilinjära avbildningen är, utan vi kan nöja oss med att ge en rad krav för att ett visst vektorrum och bilinjär avbildning utgör en tensorprodukt av och .

Definition: Tensorprodukt

Tensorprodukten av två vektorrum och är ett vektorrum tillsammans med en bilinjär avbildning , så att det för alla vektorrum och alla bilinjära avbildningar finns en unik linjär avbildning sådan att , det vill sägaför alla och .

Denna definition kallas för den universella egenskapen för tensorprodukten, och är ett av flera sätt att definiera tensorprodukten. Vi säger alltså inte explicit vad och är för något, utan endast att det är ett vektorrum och bilinjär avbildning som uppfyller vissa krav.

Ett skäl till att vi lägger till kravet att ska vara unik är för att se till att är precis så stort det behöver vara för sitt syfte, nämligen att överföra bilinjära avbildningar på linjära. Vi kan förtydliga detta med en sats.

Sats: spänner upp .

Om och är vektorrum och är en tensorprodukt av och så är

Bevis:
Antag att och att . Då kan vi välja ett vektorrum med fler än en vektor, samt en bilinjär avbildning . Eftersom är en tensorprodukt finns då ett unikt linjärt så att för alla , men eftersom så sätter detta inte ett krav på . Vi kan alltså genom avbilda på godtycklig vektor i , så då är inte unikt bestämd, vilket motsäger definitionen.

Men för att gå tillbaka till definitionen finns ju alltså flera möjliga vektorrum som vi får kalla . Det kanske känns förvirrande, men just att definitionen är en universell egenskap är viktigt. Den säger nämligen att alla möjliga vektorrum som uppfyller definitionen är isomorfa med unik isomorfi. Det betyder att det givet två möjliga sådana vektorrum finns ett unikt sätt att para ihop alla vektorer i vektorrummen med varandra, alltså kan vi se alla dessa möjliga tensorprodukter av och som samma, bara att vi har bytt namn på varje vektor. Vi sammanfattar detta i en sats.

Sats: Tensorprodukten är unik upp till unik isomorfi

Om samt är möjliga tensorprodukter av och så finns en unik isomorfi mellan och .

Bevis:
Enligt definitionen finns unika linjära avbildningar och sådana att vilket ger attoch då måste och vara identiteterna på respektive . Eftersom de är linjära och och enligt tidigare spänner upp respektive måste de även vara identiteterna på respektive , alltså är en isomorfi mellan och . Eftersom de är unikt bestämda måste även isomorfin vara unikt bestämd.

Detta visar alltså att vår ursprungliga definition faktiskt är en universell egenskap, och säger att alla möjliga tensorprodukter mellan och kan ses som samma eftersom skillnaden helt enkelt kan ses som ett namnbyte av varje vektor.

Men vi har ju dock aldrig visat att tensorprodukter finns; vi kanske gav en definition som är omöjlig att uppfylla. Som tur är ska det visa sig att så inte är fallet. Vi börjar med att titta på vad som händer när vi inför baser till och .

Sats: Tensorprodukt med baser

Låt och vara baser för respektive . Låt även vara ett vektorrum och vara en bilinjär avbildning. Då är en tensorprodukt av och om och endast om är en bas för .

Bevis:
Vi börjar med att visa . Antag alltså att är en tensorprodukt av och . Givet och finns tal så att och . Det ger att alltså spänner upp vilket spänner upp . För att visa linjärt oberoende utnyttjar vi att, som vi precis sett, en bilinjär avbildning bestäms unikt av alla . Vi kan därmed välja och så att alla är linjärt oberoende, vilket ger att den motsvarande linjära avbildningen uppfyller att alla är linjärt oberoende, vilket ger att alla är linjärt oberoende. Därmed är en bas.

Vi visar nu . Antag alltså att är en bas för . Givet en bilinjär avbildning vet vi då att den motsvarande linjära avbildningen unikt måste bestämmas av att
för alla och , eftersom vi antagit att alla utgör en bas. Då gäller att för alla och , alltså är och är unikt bestämd, så mycket riktigt är en tensorprodukt av och .

Från detta följer att om och är ändligdimensionella så är

Vi noterar att även om vi här fortfarande inte givit ett exempel på en möjlig explicit definition av en tensorprodukt har vi ändå visat existens, eftersom vi nu bara kan välja ett vektorrum som är av "rätt storlek" så att vi kan kalla varje basvektor i en bas till det rummet för .

Exempel

En möjlig tensorprodukt av med är . Detta eftersom är en bas till och därför är en bas till . Vi kan då till exempel låta , , , där högerleden alltså är enhetsvektorerna till .

Om både och är ändligdimensionella kan vi ge en explicit definition av en tensorprodukt med hjälp av bilinjära former, d.v.s bilinjära avbildningar till kroppen .

Sats: Tensorprodukt med bilinjära former

Om och är ändligdimensionella vektorrum över kroppen är en möjlig tensorprodukt ämed .

Bevis:
Att avbildningarna från ligger i och att är bilinjär framgår av att multiplikation i en kropp är bilinjärt och att är linjära. Låt nu och vara baser för respektive . Vi vill visa att alla utgör en bas till . Vi visar först att de spänner upp . Vi har attEftersom och är ändligdimensionella finns duala baser och till respektive . Alltså bestäms alla unikt av alla . Vi ser alltså attför alla och konstanter . Tag nu ett . Genom att välja alla ser vi då att alla spänner upp , och genom att välja alla ser vi att alla är linjärt oberoende, alltså är de en bas till .

Vi såg tidigare att om och är ändligdimensionella så är
Vi vet ju att linjära avbildningar från till bestäms unikt av stycken tal som vi kan ordna i en matris, så en naturlig fråga är hur detta relaterar till tensorer. I nästa sats ser vi att om är ändligdimensionellt ( får vara oändligdimensionellt) så kan vi välja som rummet av alla linjära avbildningar från till , alltså så att är en linjär avbildning från till !

Sats:

Om och är vektorrum och är ändligdimensionellt så är en möjlig tensorprodukt
med .

Bevis:
Att är bilinjär framgår av att multiplikation i en kropp är bilinjärt, samt att alla är linjära. Välj nu baser och för respektive . Då finns en dual bas , och vi vill då visa att är en bas till . Vi ser att och att detta är en bas för eftersom alla kan skrivas entydigt som en matris så att