Symmetriska och alternerande tensorer

Vi studerar speciella slags Tensorer Tensorer som utgör delrum av tensorprodukter.

Definition: Symmetriska och alternerande tensorer

Låt vara ett vektorrum med bas . En tensor kallas symmetrisk om
för alla permutationer , där . kallas alternerande om istället byter tecken när två index byter plats, alltså om
betecknar mängden av alla symmetriska -tensorer för , och betecknar mängden av alla alternerande -tensorer för .

Det kan vara lite svårt att från denna definition få en bra bild av vad som sägs, så vi tar ett exempel.

Exempel

Om vi betraktar -tensorer till något -dimensionellt vektorrum så kan ju de beskrivas med en uppsättning tal enligt
Om vi ordnar talen i en matris så är tensorn symmetrisk om och endast om är symmetrisk, och tensorn är alternerande om och endast om är antisymmetrisk. Vi ser det eftersom den enda (icke-identitet) permutationen av element är att byta plats på elementen, så för att tensorn ska vara symmetrisk ska alltså och för att den ska vara alternerande så ska .

För att få en bättre bild av vad som händer när vi går till tensorer av högre ordning än 2 kan vi betrakta dimensionerna av rummen av symmetriska respektive alternerande tensorer.

Sats:

Om är ett vektorrum så är
Bevis:
För att hitta dimensionen av alla symmetriska -tensorer undrar vi alltså hur många linjärt oberoende uppsättningar tal som finns sådana att motsvarande tensor är symmetrisk. Det är då antalet uppsättningar index som inte är permutationer av varandra, vilket är samma som antalet sätt att välja element från stycken, eftersom vi kan se det som att placera ut stycken "separerare" bland dessa element (klassiskt kombinatoriktänk).

För alternerande -tensorer gör vi på samma sätt men måste tänka på att vi nu inte får ha något ; alla sådana är eftersom vi kan byta plats på och vilket ger att . Alltså blir antalet uppsättningar index som vi får välja fritt till helt enkelt antalet sätt att välja element från , alltså .