Singulärvärdesuppdelning

#matematik/linjär-algebra

Med Diagonalisering såg vi att vi genom att välja rätt bas ofta kan uttrycka en Operator med en väldigt enkel matris - en diagonalmatris - och med Jordans Normalform såg vi att vi alltid kan uttrycka en operator med en hyfsat enkel matris. Nu vill vi göra samma sak för generella avbildningar där vi alltså nu har friheten att välja baser både för och för .

När vi får välja baserna helt fritt har vi i någon mening för mycket frihet eftersom vi alltid kan få matrisen för på blockformen
där är en identitetsmatris och nollorna är nollmatriser så att matrisen blir av rätt storlek. Då förlorar vi ju dock i princip all information om vad avbildningen gör, så det är inte speciellt användbart. Vi sätter därför begränsningen att baserna ska vara Ortonormala.

Sats: Singulärvärdesuppdelning

Om är linjär och och är ändligdimensionella inre produktrum så finns ortonormala baser för och så att matrisen för blir på blockformen
där är en diagonalmatris med positiva reella tal längs diagonalen, och där nollorna är nollmatriser så att matrisen blir av rätt storlek.

Bevis:
Det räcker att visa satsen för fallet då är en isomorfi, eftersom om är ändligdimensionellt vet vi annars att och kan betrakta restriktionen av till med målrum , som då är en isomorfi.

Eftersom och är ändligdimensionella vet vi enligt Sats att den adjungerade operatorn finns. Vi vet då enligt Sats att både och är diagonaliserbara eftersom de är självadjungerade. Vi låter därmed och vara egenrummen till egenvärde för respektive .

Vi ser att om är en egenvektor med egenvärde till så är
vilket ger att är reellt och positivt eftersom . Vi ser även att
alltså är en egenvektor med egenvärde till , eftersom är injektiv och därmed . För varje egenvärde kan vi därmed välja en ortonormal bas till och då få att
alltså är en ortogonal bas för eftersom ty är en isomorfi och därmed inte kan vara större än spannet av . Vi ser att om vi låter för alla så blir en ortonormal bas för . Vi får då alltså att
för alla . Vi ser även att alla är ortogonala mot varandra eftersom om och är egenvektorer till så är
alltså måste om (och på samma sätt för ). Därmed utgör alla dessa ortogonala baser för och tillsammans ortonormala baser för respektive . Och med m.a.p dessa baser får vi matrisen på den efterfrågade formen, eftersom matrisen för på alltså är

Definition: Singulärvärden och singulärvektorer

Låt vara linjär och och vara ändligdimensionella inre produktrum. Om är ett positivt reellt tal, och är enhetsvektorer, samt
så kallas för ett singulärvärde, för högersingulär och för vänstersingulär.

Anmärkning

Även räknas ibland som ett singulärvärde, och alla och kallas då högersingulära respektive vänstersingulära. Vi får dock inte de entydiga paren av en vänstersingulär och högersingulär vektor som vi får med positiva singulärvärden.

Definition: Singulärvärdesuppdelning

Om är en ändlig matris med element i eller så är singulärvärdesuppdelningen av matriser sådana att
där är ortogonala/unitära och är på blockformen
där är en diagonalmatris med positiva reella i fallande ordning nedåt längs diagonalen.

Vi ser alltså att och här är basbytesmatriser till baserna där matrisen är på formen av , där alltså diagonalelementen är singulärvärdena ordnade i fallande ordning. Just att de ska vara i fallande ordning är så att blir unik. Varken eller blir unika eftersom en del kolumner i och fortfarande kan permuteras om de tillhör samma singulärvärde.