Samtidig diagonalisering

#matematik/linjär-algebra

Två Diagonaliserbara Linjära operatorer kan såklart ha samma egenvektor men med olika egenvärden för den egenvektorn. och behöver alltså inte vara lika men kan fortfarande ha en gemensam egenbas, och blir då diagonalmatriser m.a.p samma bas, vilket såklart kan underlätta för beräkningar.

Definition: Samtidig diagonalisering

Om är linjära och diagonaliserbara samt har en gemensam egenbas så kallas de samtidigt diagonaliserbara.

Med denna definition låter det svårt att avgöra huruvida två operatorer är samtidigt diagonaliserbara, men som tur är finns ett enkelt kriterium.

Sats: Samtidigt diagonaliserbara diagonaliserbara och kommuterar

Om är linjära så är och samtidigt diagonaliserbara om och endast om och är diagonaliserbara och .

Bevis:
Om och är samtidigt diagonaliserbara med egenbas så är
för alla , alltså är .

Om istället vet vi först att det finns egenrum till så att
och att om så är
Vi vet att alla baser till som är unioner av baser till varje är en egenbas till , så om varje restriktion av till är diagonaliserbar kan vi för varje välja en bas till av egenvektorer till , vilket skapar en gemensam egenbas till och . Betrakta därför restriktionen av till . Vi vet då att varje kan skrivas som
där alla är egenvektorer till unika egenvärden. Detta ger att
för alla , eftersom alla för dödas av och bara skaleras av alla . Därmed är alla eftersom och är invariant under alla vilket ger att på är diagonaliserbar.