Ortogonalitet och projektioner

#matematik/linjär-algebra

Inre produktrum Inre produktrum ger oss ett sätt att definiera vad som menas med att två vektorer är ortogonala, alltså vinkelräta mot varandra.

Definition: Ortogonalitet

Om där är ett inre produktrum och så kallar vi och ortogonala mot varandra och skriver . Vi kallar en mängd vektorer ortogonal om vektorerna är parvis ortogonala.

Definition: Ortogonal och ortonormal bas

En ortogonal bas till ett inre produktrum är en bas som är ortogonal. Om även för alla så kallas basen ortonormal.

En mycket användbar egenskap hos ortonormala baser är att vi enkelt kan få fram koordinatvektorer.

Sats: Koordinatvektorer från ortonormal bas

Om har en ortonormal bas och så är
Bevis:
Vi vet att det finns tal s.a. samt . Detta ger att
eftersom är om och annars ( är ortonormal).

Vi kan använda detta för projektioner.

Definition: Projektion

Om är en idempotent linjär avbildning, alltså om , så kallas för en projektion på delrummet .

Idempotensen är geometriskt intuitiv eftersom projektion av en vektor borde ta vektorn till ett visst delrum på vilket projektionen inte gör något.

Definition: Ortogonala delrum

Om och är delrum till ett inre produktrum och och är ortogonala för alla och så kallas och för ortogonala och vi skriver .

Definition: Ortogonalt komplement

Om är ett delrum av ett inre produktrum så är det ortogonala komplementet ett delrum som ges av
$ö$

Definition: Ortogonal projektion

Om är en projektion och så kallas för en ortogonal projektion på delrummet .

Sats:

Ortogonal projektion finns

Låt vara ett delrum till . Då är om och endast om det finns en ortogonal projektion på . Då är den ortogonala projektionen på även unikt bestämd av att är identiteten på och noll på .

Bevis:
Om så kan vi definiera till att vara identiteten på och noll på , och då är en ortogonal projektion på .

Om istället det finns en ortogonal projektion på så är för alla och vi vet att medan alltså är , och vi vet att . Eftersom är därmed .

Till slut visar vi att är unik. Tag ett . Då är , vilket ger att eftersom . Men vi vet att , alltså är . Därmed måste den ortogonala projektionen vara identiteten på och på , och är då unikt bestämd eftersom .

Sats: Ortogonal projektion

Självadjungerad projektion

En projektion är en ortogonal projektion om och endast om den är Självadjungerad Självadjungerad.

Bevis:
Vi visar först . Antag alltså att är en ortogonal projektion. För alla så är . För alla är därmed
och på samma sätt är eftersom den inre produkten respekterar addition även i första argumentet, alltså är , så är självadjungerad.

Nu visar vi . Antag alltså att är självadjungerad. Vi får då att för alla så är
för alla , alltså är .

Sats: Projektion med ändlig ortonormal bas

Om är ett inre produktrum och är ett delrum med ändlig ortonormal bas så ges den ortogonala projektionen på av
för alla .

Bevis:
Om så är enligt Sats Sats, alltså är och , så är en projektion på . Vi har även att om så är för alla eftersom alla är linjärt oberoende. För alla finns då tal s.a. vilket ger att
alltså är , så är en ortogonal projektion.

^a63929
Från detta följer alltså att den ortogonala projektionen på alltid finns om är ändligdimensionellt. Tillsammans med tidigare sats följer även att om är ändligdimensionellt.

Sats: Uppräknelig bas ger ortogonal bas

Om är ett inre produktrum och har en uppräknlig bas så finns en ortogonal bas till .

Bevis:
Vi kan använda Gram-Schmidt för att göra om den uppräkneliga basen till en ortogonal bas. Alltså, antag att är en bas till . Vi kallar vektorerna i vår ortogonala bas för . För alla låter vi och vara projektionen på . Välj först och definiera sedan för alla
Vårt induktionsantangande är att är en ortogonal bas till . Vi vet att , alltså är , vilket ger att spänner upp och måste vara linjärt oberoende eftersom dimensionen ökade när vi lade till . Slutligen är , alltså är , alltså är , så för alla , så är per induktion en ortonormal bas för för alla .

Vi vet att spänner upp eftersom alla kan skrivas som en linjärkombination av ett ändligt antal basvektorer med något största index , och då är , alltså spänns upp av , så spänner upp . Vi vet även att mängden är linjärt oberoende eftersom, på samma sätt, alla linjärkombinationer av basvektorer i har ett ändligt antal termer med något största index , och vi har tidigare visat att är linjärt oberoende. Vi har även visat att för alla så är , så är en ortogonal bas till .