Ortogonala och unitära operatorer

Om och är inre produktrum och är linjär, samt om
för alla , så kallas för en isometri.

Om är en isometri så är injektiv.

Bevis:
För alla så gäller att om så är , alltså är .

Om är linjär och är ett inre produktrum så är en isometri om och endast om bevarar den inre produkten, alltså
för alla .

Bevis:
Vi visar satsen för fallet då . Om blir beviset likadant men med längre uträkningar. är uppenbar eftersom om den inre produkten bevaras så bevaras normen. Vi behöver alltså bara visa , så antag att är en isometri. Vi utnyttjar bilinjäriteten av den inre produkten i , där vi kan använda att
alltså är för alla
så en inre produkt bestäms alltså av normer, alltså bevaras den inre produkten om normen bevaras.

Om är linjär och är ett inre produktrum så är en isometri om och endast om .

Bevis:
Vi vet att om och endast om för alla , vilket enligt SatsSats gäller om och endast om för alla , vilket gäller om och endast om för alla .

Om är linjär och är ett inre produktrum med minst en ortonormal bas så är en isometri om och endast om avbildar alla ortonormala baser på ortonormala baser.

Bevis:
Om är en isometri vet vi att alla ortonormala baser avbildas på ortogonala baser eftersom den inre produkten bevaras. Om istället alla ortonormala baser avbildas på ortonormala baser så vet vi att vi kan välja en ortonormal bas . För alla har vi då att vilket ger att
där vi utnyttjat att eftersom den ortonormala basen avbildas på en ortonormal bas .

Om operatorn är en inverterbar isometri så kallas ortogonal om och unitär om .

En operator är ortogonal/unitär om och endast om är inverterbar och .

Bevis:
Vi visar först . Antag alltså att är ortogonal/unitär. Då är en isometri, alltså är enligt SatsSats. är även inverterbar, alltså surjektiv, så är alltså på hela .

Vi visar nu . Antag alltså att är inverterbar och . Vi behöver bara visa att är en isometri, vilket följer direkt eftersom
för alla .

Om är en ortogonal/unitär operator och är matrisen för med avseende på en Ortonormal basOrtonormal bas så kallas för en ortogonal/unitär matris.

Om är en ortogonal/unitär operator och är ett egenvärde så är .

Bevis:
Låt vara en egenvektor med egenvärde . Då är

Om är en ortogonal/unitär operator och är olika egenvärden till med respektive egenvektorer så är .

Bevis:
Eftersom bevarar den inre produkten får vi att
men eftersom är , så då måste .

Om är en unitär operator och är ändligdimensionellt så finns en ortogonal bas av egenvektorer till .

Bevis:
Vi använder induktion på . Eftersom finns minst ett egenvärde med egenvektor . Därför är satsen uppenbar om . Annars låter vi och vet då enligt SatsSats att . Vi vet även att är invariant under eftersom om så är
för alla . Därmed kan vi applicera satsen på det mindre rummet och får alltså en ortogonal bas av egenvektorer till för . Denna bas tillsammans med utgör då en ortogonal bas för eftersom .

Om är SjälvadjungeradSjälvadjungerad och är ändligdimensionellt så är unitär.

Bevis:
Eftersom är självadjungerad finns en ortonormal bas av egenvektorer med respektive reella egenvärden . Vi får då att , så eftersom får vi att den ortonormala basen avbildas på en annan ortonormal bas . Enligt SatsSats räcker detta för att ska vara en isometri, och eftersom är ändligdimensionellt är även inverterbar, alltså unitär.