Normala operatorer

#matematik/linjär-algebra

Vi har sett att både Självadjungerade operatorer över och Unitära operatorer på ett ändligdimensionellt inre produktrum har ortogonala baser av egenvektorer. Vi kan ju då fråga oss vad likheten mellan dessa är, och om vi kan generalisera dem på något sätt. Vi börjar med att relatera existensen av ortogonala egenbaser till självadjungerade respektive unitära operatorer.

Sats

Om är linjär och det finns en ortogonal bas till av egenvektorer till så är självadjungerad om och endast om alla egenvärden är reella, och är unitär om och endast om alla egenvärden har belopp .

Bevis:
Med avseende på basen av ortonormala egenvektorer blir matrisen för en diagonalmatris , och är alltså självadjungerad om och endast om , alltså om och endast om alla egenvärden , så . Den är även unitär om och endast om , alltså om och endast om alla egenvärden , så .

Nu bildar vi en generalisering av dessa operatorer. Vi vet ju att självadjungerade operatorer uppfyller medan unitära operatorer uppfyller . Båda dessa uppfyller uppenbarligen att , och det ska visa sig att det är just denna egenskap som är avgörande.

Definition: Normal operator

Om är linjär och så kallas normal.

Sats: Normal Har ortonormal egenbas

En operator där är ett komplext ändligdimensionellt inre produktrum är normal om och endast om den har en ortogonal bas av egenvektorer.

Bevis:
Vi visar först . Antag alltså att är normal. Vi använder induktion på . Om så är vi klara eftersom motsvarar en skalering. Annars vet vi att det finns ett egenvärde med normal egenvektor till eftersom . Låt nu . Vi vet då att det finns ett unikt så att , alltså så att . Eftersom är normal vet vi då att
vilket ger att , alltså är , vilket ger att för alla , så är invariant under . Därmed kan vi applicera satsen på restriktionen av till och få en ortonormal bas till av egenvektorer till . När vi lägger till till denna bas får vi en ortonormal bas till .

Vi visar nu . Antag alltså att har en ortonormal bas av egenvektorer med egenvärden . Då får vi för alla att
Detta ger att för alla , alltså är .