Norm och vinklar

#matematik/linjär-algebra

Den Inre produkten ger oss ett mått på både längd och vinklar. Vi börjar med längd.

Definition: Norm

Om där är ett inre produktrum så ges normen av av

Här ser vi en anledning att definiera inre produkten som positivt definit: roten är alltid definierad och endast nollvektorn har norm , vilket är geometriskt intuitivt.

Men för att normen ska ge en metrik (alltså för att ett inre produktrum ska vara ett s.k. metriskt rum) måste den även uppfylla triangelolikheten (triangelolikheten är med i definitionen av ett metriskt rum), och det behöver vi först Cauchy-Schwarz olikhet för.

Sats: Cauchy-Schwarz olikhet

Om där är ett inre produktrum så är
med likhet om och endast om och är linjärt beroende.

Bevis:
Om någon av och är noll så är satsen uppenbar. Antag därför att . Vi får då att
vilket ger att
Om och är linjärt beroende så är för något , alltså är

Triangelolikheten

Om där är ett inre produktrum så är
Bevis:
Vi får att
enligt Cauchy-Schwarz olikhet.

Vi har alltså nu visat att inre produktrum är metriska rum. Om kroppen är definierar vi även vinklar.

Definition: Vinkel

Om är ett inre produktrum på , samt och så är vinkeln mellan och vinkeln som uppfyller