Nilpotenta operatorer

#matematik/linjär-algebra

(Inspirerat av denna bok)
Att en Linjär operator i någon mening är noll är ju intuitivt motsatsen till att den är inverterbar. Vi vet ju dock att bara för att en operator inte är nolloperatorn behöver den inte vara inverterbar. Till exempel, om som Inre direkt summa så kan ju vara inverterbar på och noll på .

Då kan vi nu fråga oss om alla operatorer går att dela upp i en inverterbar och en nolloperator på det sättet. Och vi kan ganska enkelt komma fram till att nej, det går inte alltid. Vi kan ju till exempel avbilda en basvektor på en annan basvektor , som i sin tur avbildas på . För att få med det här slags fallet måste vi alltså bredda vår bild av vad som menas med att en operator "i någon mening" är noll. Vi inför därför begreppet nilpotent operator, som är en operator s.a. någon potens av är nolloperatorn, det vill säga att bara vi applicerar tillräckligt många gånger får vi alltid noll. I vårt senaste exempel skulle alltså på vara nilpotent.

Definition: Nilpotent operator

Om är linjär och för något så kallas nilpotent.

Uppenbarligen är nilpotenta operatorer inte inverterbara eftersom då också hade varit inverterbar. Och precis som innan kan vi tyvärr fortfarande inte säga att en godtycklig operator antingen är inverterbar eller nilpotent, eftersom om så kan vara inverterbar på och nilpotent på . Men då kan vi nu precis som innan fråga oss om alla operator går att dela upp i en inverterbar och en nilpotent operator på det sättet. Och om är ändligdimensionellt så visar det sig att ja, det går faktiskt alltid!

Sats: Operatorer kan delas upp unikt i en inverterbar och en nilpotent operator

Om är linjär och är ändligdimensionellt så finns unika delrum så att , samt så att restriktionen av till är inverterbar, och så att restriktionen av till är nilpotent.

Bevis:
Vi börjar med att betrakta nollrummen . Uppenbarligen är eftersom om så är för alla . Vi märker sedan att om för något så är som vi ser snabbt eftersom
alltså är vilket ger att . Eftersom är ändligdimensionellt så kan inte nollrummen fortsätta växa för evigt, alltså finns ett minsta s.a. . Vi vet att är invariant under eftersom . Vi låter nu och vet då att , alltså är invariant under . Vårt mål nu är att visa att samt att är inverterbar på samt nilpotent på .

Om så är alltså och så finns ett s.a. . Detta ger att , vilket ger att eftersom per vår definition av så är . Vi har alltså att , alltså är en direkt summa. Från Dimensionssatsen samt denna sats följer då även att
vilket ger att . Från definitionen av och följer att på är nilpotent med exponent . Slutligen om och så är , alltså är , men , så , alltså är inverterbar på .

Slutligen visar vi att denna uppdelning är unik. Antag därför att är delrum till sådana att och sådana att på är inverterbar och på är nilpotent. Vi vet då att för alla , alltså är , och vi vet även att för något , alltså är . Detta ger att och .