Minimalpolynom

Definition: Minimalpolynom

Givet en Linjär operator Linjär operator där är ändligdimensionellt så är minimalpolynomet för polynomet av lägsta grad och med ledande koefficient som uppfyller att

Sats: Unikt minimalpolynom finns alltid

Om är linjär och är ändligdimensionellt så har ett unikt minimalpolynom .

Bevis:
Vi kan bilda en linjär avbildning så att
och vi vet då att eftersom är oändligdimensionellt medan inte är det. Det finns en lägsta grad som förekommer i , och endast ett polynom av den graden har ledande koefficient eftersom om och båda är av den lägsta graden och har ledande koefficient så har polynomet lägre grad än den lägsta graden och måste då vara nollpolynomet, alltså är .

Vi kan definiera allt på precis samma sätt för matriser istället, så alla matriser har alltså ett minimalpolynom s.a. .

Sats: Egenvärden är rötter till minimalpolynomet

Om är linjär med minimalpolynom och är en egenvektor till med egenvärde så är
Bevis:
Vi vet att vilket ger att eftersom .

Sats: Minimalpolynomet delar alla polynom i

Om är linjär med minimalpolynom och är ett polynom s.a. så är en faktor i .

Bevis:
Med polynomdivision vet vi att
för polynom där eller . Vi får då att
alltså är vilket ger att eftersom har lägre grad än minimalpolynomet.

Vi vill nu visa Cayley-Hamiltons sats, som säger att om är det karakteristiska polynomet till en matris så är . Det är ett icketrivialt bevis, så vi delar upp det i några lemman. Beviset kommer härifrån.

Lemma:

Om med Karakteristiskt polynom Karakteristiskt polynom och det finns en vektor s.a. är en bas till , så är .

Bevis:
Det finns då alltså med s.a.
I ovanstående bas blir matrisen för

vilket ger det karaktäristiska polynomet (upp till ett teckenbyte)
Detta verifieras enkelt genom att skriva ut . Vi har alltså att enligt första ekvationen, vilket ger att för alla , alltså avbildar alla basvektorer på , alltså är .

Lemma:

Om är en blockmatris s.a. och så är .

Bevis:
Eftersom determinanten av en sådan övertriangulär blockmatris är produkten av determinanterna av diagonalblocken och får vi att , vilket ger att

Cayley-Hamiltons sats

Om med karakteristiskt polynom så är .

Bevis:
Vi använder induktion på . Om så är satsen uppenbart sann. Nu om så kan vi välja ett nollskilt och hitta det minsta s.a. är linjärt beroende. Vi vet att eftersom . Om så är vi klara enligt Lemma Lemma. Annars kan vi utvidga till en bas av , och då blir m.a.p denna bas blockdiagonal på formen

där är av storlek eftersom vi visste att de första basvektorerna avbildas på varandra, och den :e basvektorn avbildas på en linjärkombination av de första. Därmed är av storlek vilket är mindre än eftersom , så enligt vårt induktionsantagande är då alltså och vilket enligt Lemma Lemma medför att .