Kvotrum

#matematik/linjär-algebra

Säg att vi har en Linjär avbildningLinjär avbildning . Då finns ju något nollrum , och vi noterar att om vi tar något så är
för alla . Det vore ju då rimligt att betrakta alla vektorer som kan skrivas på formen för något som samma vektor eftersom ändå behandlar dem som det. Detta leder oss till att först definiera sidoklasser, som vi låter vara mängder av vektorer som vi vill betrakta som samma. Just nollrummet var ett motiverande exempel, men vi vill såklart definiera detta för godtyckligt delrum.

Hittills är sidoklasser alltså bara mängder av vektorer. Notera även att sidoklasser ofta inte är delrum. Hursomhelst vill vi ju betrakta dessa mängder som vektorer, så då måste vi ju definiera addition och skalärmultiplikation. Innan vi kan göra det hittar vi några egenskaper för sidoklasserna. Först noterar vi att vi kan få samma sidoklass från olika val av .

Vi är nu redo att definiera addition och skalärmultiplikation av våra sidoklasser.

Vi måste bara verifiera att dessa operationer är väldefinierade, vilket följer från förra satsen.

Vi kan nu alltså bilda ett vektorrum av våra sidoklasser. Vi kallar vektorrummet för kvotrummet av och .

Med kvotrum kan vi alltså se det som att vi från ett vektorrum tar bort informationen som ett delrum innehåller. Detta liknar Direkta summorDirekta summor, där vi istället lägger till informationen som ett vektorrum innehåller. På det sättet kan alltså direkt summa och kvot ses som motsatta operationer.

För att gå tillbaka till vårt ursprungliga exempel med en linjär avbildning med nollrum , kan vi alltså bilda rummet vars vektorer alltså är mängder av vektorer som ger samma värde för. Hur agerar avgörs alltså av hur den agerar på sina sidoklasser. Detta leder oss till en rätt rimlig sats.

Från isomorfisatsen följer även den lite svagare dimensionssatsen.