Kroppar

En kropp är en mängd tillsammans med två binära operationer och som har åtminstone två element och , med egenskaperna

• Associativitet: och
• Kommutativitet: och
• Identiteter: och
• Inverser: finns ett s.a. , och om så finns ett så att .
• Distributivitet:

för alla .

En delkropp av en kropp är en delmängd där , , , för alla , och för alla .

Om är en kropp och är en delkropp, så är ett vektorrum över .

Bevis:
Addition av tal i samt multiplikation med tal i är väldefinierat och uppfyller samma regler som de för ett vektorrum.

Om är kroppar så är en isomorfi mellan och en bijektion som respekterar addition, multiplikation och enheter, det vill säga , , och .

För alla heltal så är restklasserna i vid division med med addition och multiplikation som ges av

Om är ett primtal så är en kropp med element.

Bevis:
Heltalen uppfyller redan alla egenskaper förutom existensen av en multiplikativ invers. Det följer att även heltalen modulo uppfyller dessa krav. Kvar är att visa att även multiplikativa inverser finns för nollskilda . Vi noterar att om så är , och eftersom så är alltså , så . Därmed är multiplikation med injektivt, och eftersom är ändlig är alltså multiplikation med även surjektivt, alltså finns en multiplikativ invers.

Om är en kropp där så finns en minsta delkropp som är snittet av alla delkropp i . Då är isomorf med antingen eller .

Bevis:
Vi vet att och därmed även . Om detta ger oändligt många element så finns alla heltal och därmed alla rationella tal i , och då är . Annars finns ett minsta s.a. . Det måste vara ett primtal eftersom om så är vilket ger att antingen eller , men det motsäger att är minst.

Den minsta delkroppen av en kropp kallas för primkroppen i .

Om är en ändlig kropp så har exakt stycken element för något primtal och heltal .

Bevis:
Primkroppen i har ett primtal element, och är ett vektorrum över och är därför isomorf med för något , som har stycken element.

Om primkroppen till en kropp är så har karakteristik . Om primkroppen är så har karakteristik .

Om en kropp har karakteristik så är för alla .

Bevis:
I binomialutvecklingen blir varje term förutom den första och sista delbar med eftersom och är delbart med medan varken eller är det om .

Alla ändliga kroppar går att representera med en mängd matriser och med multiplikation och addition definierat som vanligt för matriser.

Bevis:
Låt vara en ändlig kropp med primkroppen . Det finns då en bas för som vektorrum över . För alla finns då en matris m.a.p basen som motsvarar multiplikation med , som är linjärt. Då beter sig dessa matriser precis som elementen i eftersom matrisen för blir och matrisen för blir . Mängden av alla är därmed en kropp isomorf med .

Ett polynom kallas irreducibelt om det inte kan skrivas som en produkt av två polynom i av lägre grad.

Om är en matris i och MinimalpolynometMinimalpolynomet till är irreducibelt så är en kropp med addition och multiplikation av matriser som operationer.

Bevis:
Vi vet redan att är ett vektorrum över . Låt . Då är en bas för . Vi ser även att multiplikation i är kommutativt eftersom och kommuterar för alla . Kvar att visa är då att multiplikativa inverser finns. Antag att ett nollskilt element i inte är inverterbart. Elementet kan skrivas som där eftersom om så är elementet en multipel av identitetsmatrisen, som är inverterbar. Med polynomdivision får vi då att där inte är nollpolynomet eftersom är irreducibelt. Vi vet då att , alltså är , alltså är inverterbar eftersom det är en multipel av identitetsmatrisen. Därmed får vi alltså är inverterbar för alla , och därmed är en kropp.