Konvergens och Cauchyföljder

#matematik/linjär-algebra

För att kunna tala om oändliga summor av vektorer måste vi definiera någon slags konvergens. Vi kan göra det enkelt på Inre produktrum.

Definition: Konvergens

Låt vara ett inre produktrum och vara en följd av vektorer i . Följden kallas konvergent om det finns en vektor så att det för alla finns ett så att för alla . Vi skriver då

Vi märker dock att det är svårt att avgöra om en godtycklig följd konvergerar eftersom vi inte nödvändigtvis vet vad den konvergerar mot. Därför inför vi även så kallade Cauchyföljder.

Definition: Cauchyföljd

Låt vara ett inre produktrum och vara en följd av vektorer i . Följden kallas för en Cauchyföljd om det för alla finns ett så att för alla .

Sats: Konvergent Cauchyföljd

Om är en konvergent följd av vektorer i ett inre produktrum så är följden en Cauchyföljd.

Bevis:
Låt . Triangelolikheten ger då att
och konvergensen ger att vi kan få och godtyckligt små, alltså är följden en Cauchyföljd.

Omvändningen är däremot inte alltid sann. Till exempel finns rationella Cauchyföljder som konvergerar mot irrationella tal.

Definition: Fullständigt metriskt rum

Ett metriskt rum kallas fullständigt om alla Cauchyföljder konvergerar.

Definition:

Låt vara vektorrummet av alla rationella talföljder. Låt
öäövara delrummet av alla rationella Cauchyföljder, och låt
Då definierar vi som Kvotrummet .

På det sättet blir ett fullständigt metriskt rum.