Karakteristiska polynom

#matematik/linjär-algebra

Om vi kan hitta en bas till som enbart består av Egenvektorer till någon Linjär operator så kan vi skriva som en diagonalmatris. Och diagonalmatriser är ju väldigt trevliga att jobba med eftersom de är enkla att multiplicera med. Vi skulle ju då vilja ha en metod för att hitta egenvärden, egenvektorer och slutligen en bas av egenvektorer. Detta leder oss till det karakteristiska polynomet av en matris.

Definition: Karakteristiskt polynom

Det karakteristiska polynomet av en matris är polynomet
Det karakteristiska polynomet av en linjär operator är det karakteristiska polynomet för där är godtycklig bas för .

Om är en kvadratisk matris eller linjär operator så betecknar det karaktäristiska polynomet för , om inte annat sagts.

Vi noterar för det första att vi inte definierar detta i det oändligdimensionella fallet eftersom polynom måste ha ett ändligt antal termer. Vi behöver även visa att det karakteristiska polynomet för en linjär operator är väldefinierat, så att det inte beror av basen .

Sats: Karakteristiska polynomet är oberoende av bas

Om är linjär och är baser för så är det karakteristiska polynomet för samma som för .

Bevis:
Vi vet att för någon basbytesmatris . Därmed är

Nu ser vi sedan att vi med det karakteristiska polynomet kan hitta egenvärdena till en linjär operator .

Sats: Egenvärdena är rötterna till karakteristiska polynomet

Om med matris m.a.p någon bas och är det karakteristiska polynomet till så är egenvärdena till precis rötterna till .

Bevis:
Vi har att för något om och endast om , om och endast om det finns nollskilda lösningar till