Jordans Normalform

#matematik/linjär-algebra

Tyvärr går ju inte alla Operatorer att Diagonalisera, men vi kan ändå alltid göra någonting som är så bra som möjligt, åtminstone om vår kropp är algebraiskt sluten, till exempel om kroppen är . När vi diagonaliserar en operator vill vi givet egenvärdena till hitta en bas bestående av vektorer i egenrummen . Principen med Jordans normalform är att betrakta så kallade generaliserade egenrum som är på formen där är den algebraiska multipliciteten för . Och det visar sig att det alltid (om kroppen är algebraiskt sluten) går att hitta en bas bestående av vektorer från dessa generaliserade egenrum.

Beviset för att detta alltid fungerar samt metoden för att ta fram en sådan bas är ganska komplexa. Vi kommer överföra beviset till Nilpotenta operatorer; läs gärna igenom den sidan!

Sats: Uppdelning i generaliserade egenrum

Om är linjär, är ändligdimensionellt och är algebraiskt slutet, samt om är de unika egenvärdena till med respektive algebraiska multipliciteter , så är den Inre direkta summan av delrum med respektive dimensioner sådana att alla är invarianta under och sådana att alla är nilpotenta på .

Bevis:
Att ska vara algebraiskt slutet är så att vi dels vet att det finns egenvärden, och dels så att vi vet att karaktäristiska polynom kan faktoriseras till linjära faktorer.

För alla , definiera . Vi använder denna sats på för att få delrum och s.a. är nilpotent på och inverterbar på . Eftersom och är invarianta under så är de även invarianta under för alla , därmed under och även alla . Därmed är determinanten av lika med produkten av determinanten av på respektive , för alla . Vi vet även att är det enda egenvärdet till på eftersom på annars inte hade varit nilpotent, och vi vet även att inte är ett egenvärde till på eftersom är inverterbar på . Detta ger att det karaktäristiska polynomet till på är eftersom alla karaktäristiska polynom kan faktoriseras till linjära faktorer, alltså är . Vi vet även att är disjunkt med spannet av alla andra , eftersom om ett nollskilt är i och i spannet av alla andra så finns s.a. och
Den sista ekvationen gäller eftersom om är i spannet av alla för så är alltså en summa av en vektor från varje och eftersom alla är invarianta under alla kommer varje döda termen från . Men eftersom även är invariant under alla betyder ovanstående produkt att det finns något nollskilt och s.a. , men det betyder att är ett egenvärde till på , vilket är en motsägelse. Därmed vet vi att är en direkt summa, alltså är

I denna sats är alltså alla de generaliserade egenrummen, så vi ser här att det mycket riktigt alltid finns en bas av generaliserade egenvektorer. Det sista steget i Jordans normalform är att välja denna bas på ett sätt som gör matrisen allra enklast. Detta görs ofta genom att för varje generaliserat egenrum hitta så kallade jordankedjor av basvektorer på formen för något .

Beviset kommer härifrån.

Sats: Kedjeuppdelning med nilpotent operator

Om är linjär och nilpotent så finns en bas till på formen
för något och några , sådana att för alla .

Bevis:
Vi använder induktion på . Om så är satsen uppenbarligen sann (tomma mängden är bas). Den är också uppenbarligen sann om , eftersom godtycklig bas till då fungerar. Annars, om och , så vet vi att eftersom om så är inte nilpotent. Vårt induktionsantagande är därmed att satsen är sann för restriktionen av till . Då finns alltså ett samt och s.a.
är en bas för , där för alla . För alla kan vi då välja s.a. . Vi vet då att innehåller de linjärt oberoende vektorerna , alltså kan vi utvidga dessa till en bas av genom tillägg av vektorer . Vi vill nu visa att
är en bas för . För att visa linjärt oberoende, antag att
Genom att applicera på båda led får vi
alltså är för alla och eftersom alla vektorer i denna summa är linjärt oberoende. Kvar får vi då
vilket ger att resten av konstanterna är eftersom vi sa att dessa utgör en bas för . Alltså är vår mängd linjärt oberoende. Med Dimensionssatsen visar vi enkelt att de även spänner upp hela ; eftersom vi vet att och att får vi att
vilket är antalet vektorer i vår mängd, alltså är det en bas.

Om vi applicerar dessa två satser får vi alltså matrisen på Jordans normalform, alltså på diagonalblockform där varje block har ett egenvärde längs hela diagonalen och ettor över varje diagonalelement.

Från beviset framgår även en rekursiv algoritm för att hitta en bas på formen från satsen:

Metod: Hitta Jordans normalform för nilpotenta operatorer

Om , välj en godtycklig bas för . Annars, använd algoritmen på restriktionen av till för att få en bas på formen
Hitta sedan s.a. . Utvidga sedan till en bas av genom tillägg av . Då är
en bas för på den efterfrågade formen.

Vi kan nu använda dessa satser och metoden ovan för att hitta Jordans normalform i den allmänna fallet.

Metod: Hitta Jordans normalform

Hitta egenvärdena till med algebraiska multipliciteter . För alla :

Hitta en bas till det generaliserade egenrummet . Använd sedan metoden för nilpotenta operatorer på operatorn och rummet för att ta fram en Jordanbas till .

Samtliga Jordanbaser till utgör tillsammans en Jordanbas för .