Inre produktrum

#matematik/linjär-algebra

Ett inre produktrum är ett vanligt vektorrum över eller tillsammans med ett sätt att kombinera två vektorer och få ut ett tal från kroppen. Denna avbildning från två vektorer till ett tal kallar vi för den inre produkten, och vi sätter några speciella krav på den.

Definition: Inre produkt

En inre produkt på ett vektorrum med kroppen eller 𝕜 är en avbildning som uppfyller

  1. Linjäritet i det andra argumentet: för alla och ,
  2. Konjugatsymmetri: för alla ,
  3. Positivt definit: och (alltså även ) för alla .

Vi märker att om kroppen är får vi att den inre produkten är Bilinjär och symmetrisk, samt att om kroppen är så är den inre produkten så kallat seskvilinjär, alltså att den är linjär i det högra argumentet och antilinjär i det vänstra.

Vi märker att eftersom den inre produkten är seskvilinjär bestäms den givet någon bas av värdena för . Vi ordnar dessa tal i en matris som vi kallar för metriken av vår inre produkt.

Definition: Metrik

Om är ett inre produktrum med bas så är metriken med avseende på basen en konjugatsymmetrisk positivt definit matris som ges av

Sats: Inre produkt från metrik

Om är ett inre produktrum med bas och metrik med avseende på , och så är
Bevis:
Vi vet att och . Då är

Vi måste alltså ha kravet på att metriken ska vara konjugatsymmetrisk och positivt definit för att den ska kunna representera en inre produkt. Men förutom de kraven märker vi att vi kan välja talen helt själva, vilket ger oss följande sats.

Sats: Metriken definierar inre produkten

Om är ett vektorrum och är en matris som är om , eller oändligt stor om är oändligdimensionellt, så definierar en inre produkt om och endast om är konjugatsymmetrisk och positivt definit.

Bevis:
Låt vara en bas för . Vi visar först . Antag alltså att definierar en inre produkt. Då har vi att , samt att är positivt definit eftersom enligt Sats är positivt definit.

Nu visar vi . För är alltså och . Om vi alltså sätter följer då enligt tidigare att , och det följer också att , vilket ger att den inre produkten är konjugatsymmetrisk. Slutligen vet vi att den inre produkten är positivt definit eftersom vi sa att är det.

Vi visar även följande sats som är användbar i många bevis.

Sats: för alla

Om är ett inre produktrum och så är om och endast om för alla .

Bevis:
är uppenbar, så kvar är . Linjäriteten ger att för alla . Välj så får vi