Hilbertrum

#matematik/linjär-algebra

Definition: Hilbertrum

Ett Hilbertrum är ett fullständigt inre produktrum.

Till exempel är alla och hilbertrum. Vi tar även upp två andra viktiga.

Definition:

Om kroppen eller så definierar vi Hilbertrummet
med inre produkt

Sats: är väldefinierad

är väldefinierad, alltså ett Hilbertrum.

Bevis:
För godtyckliga så är
och vi får att , alltså är summan och inre produkten väldefinierad. Kvar är att visa att alla Cauchyföljder konvergerar. Låt vara en Cauchyföljd av följder från . Bilda sedan för alla följden . Denna följd är en Cauchyföljd av tal från eftersom följden av följder är en Cauchyföljd. Eftersom vi vet att är fullständigt ( eller ) så vet vi att varje sådan talföljd konvergerar mot något . Bilda därmed följden . Vi får då att eftersom varje term i går att få godtyckligt litet, så vi kan tvinga serien till att konvergera till ett godtyckligt litet tal.

Definition: Funktionsrummet

Börja med rummet med inre produkt . Låt sedan
öäöoch låt
Bilda sedan kvoten med . Detta är dock inte en inre produkt så låt sedan även
och bilda slutligen funktionsrummet .

Denna definition kräver dessa jobbiga kvoter eftersom, för det första, när vi tar vektorrummet av kontinuerliga funktioner så finns följder av funktioner vars gränsvärde inte är en kontinuerlig funktion; till exempel kan man tänka sig en följd av funktioner där lutningen i någon punkt ökar och går mot , så att gränsvärdesfunktionen har ett hopp i den punkten. För det andra, när vi även tagit med dessa gränsvärdesfunktioner så har vi inte längre en inre produkt eftersom det finns gränsvärdesfunktioner som är nollskild på en nollmängd och därmed har norm men inte är noll, vilket bryter mot kravet att inre produkten är positivt definit. Därmed kvotar vi till sist bort dessa funktioner som bör betraktas som noll.

Definition: Ortogonal bas i Hilbertrum

En ortogonal bas i ett Hilbertrum är ortogonal mängd vektorer så att det för alla finns tal så att serien
konvergerar mot .

Precis som i fallet med "vanliga" ortogonala baser kan vi få fram talen enligt