Duala rum

Definition: Dualt rum

Om är ett vektorrum så är det duala rummet vektorrummet
$ä$ En linjär avbildning till kallas för en linjär form.

Exempel

Om och är kolumnvektorer så kan ses som alla radvektorer av storlek , eftersom en radvektor multiplicerat från vänster med en kolumnvektor blir ett tal.

För att generalisera exemplet går vi till inre produktrum.

Definition:

Om är ett inre produktrum och så är den linjära formen som ges av att
för alla .

Definition: Dual bas

Om är ändligdimensionellt med bas så är den duala basen en bas för som ges av där
för alla .

Vi ser att om är oändligdimensionellt så blir den "duala basen" linjärt oberoende men inte en bas eftersom en linjär form kan vara nollskild för oändligt många basvektorer medan alla linjära former som spänns upp av den "duala basen" endast är nollskilda för ändligt många basvektorer.

Vi märker även att den duala basen ger koordinater eftersom
Slutligen ser vi även att om är en Ortonormal bas Ortonormal bas så följer det direkt från definitionen att är en dual bas.