Direkta summor

#matematik/linjär-algebra

Ett sätt att kombinera två vektorrum och är genom en direkt summa. Vi kan se direkta summor som att bilda ett nytt vektorrum vars vektorer är par av vektorer från respektive , där vi utför addition och skalärmultiplikation komponentvis.

Definition: Yttre direkt summa

Den yttre direkta summan av två vektorrum och är ett vektorrum s.a.
där för alla , och .

Om och är delrum till något gemensamt vektorrum så är addition där och definierat. Vi inför då även summan av delrummen.

Definition: Summa av delrum

Summan av två delrum och av ett gemensamt vektorrum är ett delrum s.a.

Om nu och är delrum sådana att varje vektor kan skrivas på ett unikt sätt som för något och så kan vi se det som att varje vektor i innehåller informationen av en vektor i och en vektor i . Detta liknar den yttre direkta summan väldigt mycket, och vi kallar då summan för en inre direkt summa eller bara direkt summa och skriver även för att beteckna den inre direkta summan.

Definition: Inre direkt summa

Om och är delrum av ett gemensamt vektorrum och om varje vektor kan skrivas på ett unikt sätt som för något och så kallar vi summan för en inre direkt summa och skriver för att indikera att summan är direkt.

Anmärkning:

kan beteckna antingen inre eller yttre direkt summa

När skrivs är det alltså inte alltid viktigt om det är en yttre eller inre direkt summa som avses, eftersom dessa i någon mening innehåller precis samma information, och därför kan ses som samma sak. Om däremot och inte är delrum av något gemensamt vektorrum så avses alltid den yttre direkta summan.

Med definitionen vi givit nu är det inte uppenbart hur vi avgör om är en direkt summa eller inte. Som tur är finns ett lätt sätt att kontrollera det.

Sats:

direkt

Om och är delrum av ett gemensamt vektorrum så är en direkt summa om och endast om .

Bevis:
Vi visar först . Antag alltså att är en direkt summa, och antag att . Då är , alltså är som en summa av en vektor i och en i . Eftersom alltid uppfyller detta och denna summa ska vara unik måste alltså , alltså är .

Nu visar vi . Antag alltså att , och antag att för några och . Då är , vilket implicerar att eftersom de är additiva inverser av varandra. Detta ger att , alltså är och vilket ger att alla är unikt bestämda som en summa .

Nu tillbaka till världen där vi betraktar den inre och yttre direkta summan som samma sak. I följande sats används den yttre direkta summan i beviset, men satsen gäller alltså för både yttre on inre direkta summor.

Sats:

Om och är ändligdimensionella så är
Bevis:
Givet baser och för respektive får vi att
är en bas för eftersom varje vektor