Alternerande och skevsymmetriska avbildningar

#matematik/linjär-algebra

Definition: Alternerande multilinjär avbildning

En Multilinjär avbildning kallas alternerande om
för alla och vektorer .

Vi ser att definitionen inte är identisk med den för Alternerande tensorer, men något som liknar den definitionen mycket mer är skevsymmetriska multilinjära avbildningar.

Definition: Skevsymmetrisk multilinjär avbildning

En multilinjär avbildning kallas skevsymmetrisk om byter tecken när två argument byter plats, alltså om
för alla permutationer och vektorer .

Och som vi ganska enkelt kan se betyder alternerande och skevsymmetrisk (nästan) samma sak.

Sats: Skevsymmetrisk vs Alternerande

Om en multilinjär avbildning är alternerande så är skevsymmetrisk. Om är skevsymmetrisk och även i kroppen så är alternerande.

Bevis:
Antag först att är alternerande och fixera godtyckligt alla förutom två argument till . Då är
Antag nu istället att är skevsymmetrisk och att . Då är