Adjungerade avbildningar

Definition: Adjungerad avbildning

Om och är linjära och
för alla och så kallas för den adjungerade avbildningen till .

Vi kallar för den adjungerade avbildningen eftersom vi enkelt kan visa att om den finns så är den unik.

Sats: Adjungerad operator är unik

En linjär avbildning har högst en adjungerad avbildning .

Bevis:
Om är adjungerade avbildningar så har vi att
för alla och , vilket enligt Sats Sats ger att för alla , alltså är .

Vi ser även direkt vissa egenskaper, som att . Vi har dock fortfarande inte visat existens, så vi vet inte om det alltid finns en adjungerad operator. Det ska visa sig att åtminstone i det ändligdimensionella fallet finns alltid en adjungerad operator. Vi ser det genom att betrakta Ortonormala baser Ortonormala baser.

Sats: Adjungerade operatorn är konjugattransponatet i ON-bas

Om och är ändligdimensionella inre produktrum och är linjär, samt är matrisen för m.a.p ortonormala baser för och , så är konjugattransponatet matrisen för m.a.p samma ortonormala baser.

Bevis:
Låt och vara ortonormala baser för respektive . Då får vi att matrisen för m.a.p de ortonormala baserna enligt Sats Sats ges av
och på samma sätt ges då matrisen för den adjungerade operatorn av
alltså är .

Förutom att vi vill garantera existens av ortonormala baser ser vi att eftersom vi tar transponatet av är det viktigt att åtminstone är ändligdimensionellt; annars kan vi i transponatet få kolumner med ett oändligt antal nollskilda element.

Definition: Självadjungerad

Om är linjär och så kallas självadjungerad.

Definintion: Konjugattransponat

Om är en reell eller komplex matris så låter vi beteckna konjugattransponatet, alltså
Om kallar vi för konjugatsymmetrisk eller Hermitesk.

Sats: Självadjungerade operatorer har endast reella egenvärden

Samtliga egenvärden till en självadjungerad operator är reella.

Bevis:
Låt vara en egenvektor till med egenvärde . Då är
alltså är , alltså är .

Sats: Spektralsatsen

Om är ett ändligdimensionellt inre produktrum och operatorn är självadjungerad så finns en ortogonal bas av egenvektorer till .

Bevis:
Vi använder induktion på . Om så är satsen uppenbar eftersom motsvarar en skalering. Antag nu att . Vi vet då att det finns minst ett egenvärde till oavsett om eller , eftersom om så kan vi se matrisen för som en komplex matris vars karaktäristiska polynom vi då vet har minst en komplex rot, men enligt Sats Sats är den roten reell, alltså även ett egenvärde om . Låt därmed vara en egenvektor med egenvärde . Låt sedan , vilket ger att . Vi vet att är invariant under , och vi får att även är det eftersom om så är
Därmed kan vi applicera satsen på restriktionen av till och få en ortogonal bas till av egenvektorer till . När vi lägger till till denna bas får vi en ortogonal bas till eftersom och är ortogonal mot alla vektorer i .